[論文レビュー] Averaging for a Fully-Coupled Piecewise Deterministic Markov Process in Infinite Dimension

Alexandre Génadot, M. Thieullen|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2つの時間スケールを有する無限次元における完全に結合された区分的確率的マコフ過程（PDMP）としてモデル化された確率的ヒルキン＝フックス神経細胞を対象とし、厳密な平均化原理を確立する。速い・遅いイオンチャネルの動的挙動を分離することで、無限次元における有効な平均化PDMPへの収束を証明し、閉形式の進化方程式とジャンプレートを導出する。これは、初めて無限次元確率的ハイブリッド系への平均化理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the generalized Hodgkin-Huxley model introduced by Austin in \cite{Austin}. This model describes the propagation of an action potential along the axon of a neuron at the scale of ion channels. Mathematically, this model is a fully-coupled Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP) in infinite dimension. We introduce two time scales in this model in considering that some ion channels open and close at faster jump rates than others. We perform a slow-fast analysis of this model and prove that asymptotically this two time scales model reduces to the so called averaged model which is still a PDMP in infinite dimension for which we provide effective evolution equations and jump rates.

研究の動機と目的

• 有限次元空間における区分的確率的マコフ過程（PDMP）の平均化結果の不足に起因する問題を解決すること。特に、確率的ニューロンモデルの文脈において。
• 一部のイオンチャネルの動的挙動が他のものよりも速いという2つの時間スケールを有する一般化されたヒルキン＝フックスモデルを分析すること。
• 遅い・速い系が無限次元において簡略化された平均化PDMPに漸近的に収束することを厳密に証明し、巨視的レベルでの確率的性質を保持すること。
• 平均化モデルの明示的な有効進化方程式とジャンプレートを導出することにより、複雑性を低減しつつも、固有のばらつきを維持すること。

提案手法

• 膜電位のPDEとイオンチャネル状態のマコフ連鎖を用いて、空間的確率的ヒルキン＝フックスモデルを無限次元における完全に結合されたPDMPとして定式化する。
• 小さなパラメータεを用いて、速い・遅いイオンチャネルの動的挙動を導入し、2つの時間スケールを明示する。
• 遅い・速い系に確率的平均化技術を適用し、速い成分のエルゴード性を活用して有効な平均化ダイナミクスを導出する。
• 半群理論とヒルベルト空間における緊密性基準を用いた関数解析的道具を用いて、遅い成分が平均化過程に確率的に収束することを確立する。
• ヒルベルト空間Hにおける解の正則性と減衰を制御するため、Austinの補題を用いて熱半群に着目する。
• ヒルベルト空間におけるAldousの条件と緊密性基準を用いて、右連続左極限（c`adl`ag）経路空間におけるプロセスの弱収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元PDMPからの平均化原理が、無限次元における完全に結合された系へと拡張可能か？
• RQ2 イオンチャネルダイナミクスに2つの時間スケールを有する確率的ヒルキン＝フックスモデルの極限的挙動は何か？
• RQ3 平均化された無限次元PDMPのための有効進化方程式とジャンプレートはどのように導出可能か？
• RQ4 2時間スケール系の遅い成分は、確率的に簡略化された確率的過程に収束するか？

主な発見

• 本稿は、完全に結合されたPDMPが無限次元に拡張された初めての平均化原理を確立し、遅い成分が平均化PDMPに弱収束することを証明する。
• 極限的な平均化モデルは依然として無限次元におけるPDMPであり、速いイオンチャネルの平均化ダイナミクスから導出された有効進化方程式を有する。
• 平均化モデルにおける有効ジャンプレートは、速い成分の不変測度上での時間平均として計算され、確率的整合性を保証する。
• 収束は、ヒルベルト空間値をとるc`adl`ag経路空間において、緊密性とAldousの条件を用いて証明される。
• 解析は半群推定と関数不等式に依拠しており、ヒルベルト空間Hにおける熱核の正則性と減衰に関する明示的な境界が得られる。
• 結果は初期条件の選択に強く依存せず、有限時間区間上で一様に成り立つ。