[論文レビュー] Axiomatic Differential Geometry III-2

Hirokazu Nishimura|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Weil代数から完全かつ（局所的）デカルト閉圏 𝕌 への関手の圏が、自身でも（局所的）デカルト閉であることを確立する。Weil関手に基づく微分幾何の形式的公理的体系を導入し、このような圏が微分幾何学にとって本質的なカテゴリー的性質、特に局所的デカルト閉性を継承することを示す。

ABSTRACT

Given a complete and (locally) cartesian closed category U, it is shown that the category of functors from the category of Weil algebras to the category U is (locally, resp.) cartesian closed. The corresponding axiomatization for differential geometry based upon Weil functors is then given.

研究の動機と目的

• Weil代数から完全かつ（局所的）デカルト閉圏 𝕌 への関手の圏が、自身でも（局所的）デカルト閉であることを示すこと。
• 特にファイバーマニフォールドと滑らかな空間の便利な圏との関係において、微分幾何学における局所的デカルト閉性の基礎的意義を明らかにすること。
• Chen や Souriau、Frölicher のような既存の枠組みを一般化する、Weil関手に基づく微分幾何の圏的公理的体系を提供すること。
• Weil代数の文脈において、接関手の振る舞いと、それらが引き戻しと指数関手とどのように整合するかを形式化すること。
• 局所的 DG-圏を、接関手、指数関手、およびスライス圏との間の強い整合性条件を満たす圏として定義し、特徴づけること。

提案手法

• Weil代数の圏から完全かつ（局所的）デカルト閉圏 𝕌 への関手の圏 𝒦_U を構成する。
• Weil代数上の関手 (−) ⊗_k W との合成によって得られる、𝒦_U 上の自己関手としての接関手 T_U^W を定義する。
• Weil_k 内の射 φ に対応する自然変換 α_φ^U を導入し、関手が Weil代数とのテンソル積を介してどのように変換されるかを記述する。
• 固定された定義域を持つ Weil_k 内の射の族に関する等化子を用いて、𝒦_U 内の内部指数 M^N を定義し、合成および引き戻しと整合するように保証する。
• 基底環 ℝ を 𝒦_U に埋め込むために、標準的関手 ℝ_U = ℝ ⊗_k − を用い、微分幾何的構成の基盤を築く。
• 引き戻しの下で接関手、指数関手、およびスライス圏の整合性を検証することにより、圏 𝒦_U が局所的 DG-圏の公理を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weil代数から（局所的）デカルト閉圏への関手の圏が、いつ（局所的）デカルト閉であるか？
• RQ2 微分幾何学を、局所的デカルト閉性を保つ形で、Weil関手に基づいてどのように公理化できるか？
• RQ3 𝒦_U 内の接関手 T_U^W と内部指数との関係は何か？また、Weil_k 内の射の下でそれらはどのように作用し合うか？
• RQ4 DG-圏を対象 L に関して局所化すると、局所的 DG-圏の構造がどのように保存されるか？
• RQ5 スライス圏 𝒦_U/L 上の接関手 T_L^W が、指数関手および自然変換とどのように可換するかを保証する条件は何か？

主な発見

• Weil代数から完全かつ（局所的）デカルト閉圏 𝕌 への関手の圏 𝒦_U は、自身でも（局所的）デカルト閉である。
• 𝒦_U 内の内部指数 M^N は、Weil_k 内で固定された定義域を持つすべての射に関する等化子として構成され、合成およびテンソル積と整合するように保証される。
• 接関手 T_U^W は、指数関手を保存する。具体的には、スライス圏内で T_U^W(M^N) ≅ T_U^W(M)^T_U^W(N) が成り立つ。
• 自然変換 α_φ^U は指数関手と可換であり、スライス圏内で α_φ^U(M)^T_U^W(N) = T_U^W(M)^α_φ^U(N) が成り立つ。これにより整合性が保証される。
• 局所的 DG-圏を対象 L に関して局所化すると、接関手、指数関手、および基底対象の構造を保ったまま、再び局所的 DG-圏が得られる。
• Weil代数の圏は左完全であり、標準的関手 ℝ ⊗_k − により ℝ が 𝒦_U に埋め込まれ、微分幾何的構成の基盤が形成される。