[論文レビュー] Axiomatic $G_{1}$-vertex algebras

Haisheng Li|ArXiv.org|Apr 25, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、非局所的一般化として、ジャコビ恒等式を弱い結合性に置き換えることで、$G_1$-頂点代数の公理的体系を導入し、研究している。互いに整合する$G_1$-頂点作用素の集合が弱い公理的$G_1$-頂点代数を生成することを確立し、対ごとに相互に局所的な作用素が通常の頂点代数を生成することを示し、重層的構成、行列代数、およびクロス積を統一する。

ABSTRACT

Inspired by the Borcherds' work on ``$G$-vertex algebras,'' we formulate and study an axiomatic counterpart of Borcherds' notion of $G$-vertex algebra for the simplest nontrivial elementary vertex group, which we denote by $G_{1}$. Specifically, we formulate a notion of axiomatic $G_{1}$-vertex algebra, prove certain basic properties and give certain examples, where the notion of axiomatic $G_{1}$-vertex algebra is a nonlocal generalization of the notion of vertex algebra. We also show how to construct axiomatic $G_{1}$-vertex algebras from a set of compatible $G_{1}$-vertex operators. The results of this paper were reported in June 2001, at the International Conference on Lie Algebras in the Morningside center, Beijing, China, and were reported on November 30, 2001, in the Quantum Mathematics Seminar, at Rutgers-New Brunswick. We noticed that a paper of Bakalov and Kac appeared today (math.QA/0204282) on noncommutative generalizations of vertex algebras, which has certain overlaps with the current paper. On the other hand, most of their results are orthogonal to the results of this paper.

研究の動機と目的

• ボルケルズの$G$-頂点代数の基本群$G_1$に対する非局所的公理的双対を定式化すること。これは非可換結合的代数に類似する。
• 頂点代数におけるジャコビ恒等式を弱い結合性に置き換え、通常の頂点代数を一般化する新しい代数的クラスを定義すること。
• 重層的構造、行列代数、およびクロス積構成を用いて、通常の頂点代数から公理的$G_1$-頂点代数を構成すること。
• ジャコビに類似した恒等式を介してこれらの構成を統一し、主な公理として制限付き（弱い）公理的$G_1$-頂点代数を定義すること。
• 互いに整合する$G_1$-頂点作用素の集合が、自然なモジュール構造を持つ弱い公理的$G_1$-頂点代数を生成することを証明すること。

提案手法

• ジャコビ恒等式を弱い結合性に置き換えることで、公理的$G_1$-頂点代数を定義する：ある$l \geq 0$が$u$と$w$に依存し、$(x_0 + x_2)^l Y(u, x_0 + x_2)Y(v, x_2)w = (x_0 + x_2)^l Y(Y(u, x_0)v, x_2)w$が成り立つ。
• 通常の$G$-重層的頂点代数から、正規化された2-コホモロジーを用いて公理的$G_1$-頂点代数を構成する。これは非可換結合的代数理論におけるねじれ群代数に類似している。
• 通常の頂点代数$V$に対して行列代数$M(n, V)$を定義し、$V \otimes M(n, \mathbb{C})$に同型である自然な公理的$G_1$-頂点代数構造を持つことを示す。
• 通常の頂点代数$V$と$G$-作用を持つ群$G$から、非可換代数のクロス積を一般化した公理的$G_1$-頂点代数のクロス積（ねじれ積）を構成する。
• クロス積代数に対してジャコビに類似した恒等式を導出し、これを主な公理として制限付き（弱い）公理的$G_1$-頂点代数を定義する。
• 任意のベクトル空間$W$上での$G_1$-頂点作用素の整合的集合が、再帰的に定義可能な頂点作用素積を通じて、自然なモジュール構造を持つ弱い公理的$G_1$-頂点代数を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点代数の概念を、非可換結合的代数の類似を捉える非局所的設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 非局所的設定において、ジャコビ恒等式に代わる公理的構造は何か？また、ボルケルズの$G_1$-頂点代数とどのように関係するか？
• RQ3 結合的代数における標準的構成—重層的構成、行列代数、クロス積—を$G_1$-頂点代数の設定に持ち上げることは可能か？
• RQ4 整合的集合としての$G_1$-頂点作用素は、どのように公理的$G_1$-頂点代数を生成するのか？また、それらがどのようなモジュール構造を備えるのか？
• RQ5 クロス積構成におけるジャコビに類似した恒等式は、さまざまな例を統一し、より広い代数的クラスを定義するのに役立つのか？

主な発見

• 公理的$G_1$-頂点代数は、ジャコビ恒等式を弱い結合性に置き換えることで定義され、頂点代数の非局所的一般化である。
• $V$を通常の頂点代数とするとき、$M(n, V)$の構成は、自然な公理的$G_1$-頂点代数構造をもたらし、$V \otimes M(n, \mathbb{C})$に同型である。
• $G$-作用を持つ頂点代数からのクロス積構成は、導出されたジャコビに類似した恒等式を特徴とする公理的$G_1$-頂点代数を生成する。
• 空間$W$上での任意の整合的$G_1$-頂点作用素の集合は、再帰的に定義可能な頂点作用素積を通じて、自然なモジュール構造を持つ弱い公理的$G_1$-頂点代数を生成する。
• 対ごとに相互に局所的な$G_1$-頂点作用素は通常の頂点代数を生成する。これは、局所性が成り立つとき、公理的$G_1$-頂点代数構造が古典的頂点代数を回復することを示している。
• $S$が整合的集合であるとき、$U = \text{span}\{a^{(1)}(x)_{n_1} \cdots a^{(r)}(x)_{n_r} 1_W \}$は、$Y_W(\alpha(x), x_0) = \alpha(x_0)$を満たす弱い公理的$G_1$-頂点代数となり、$W$を自然なモジュールとして持つ。