[論文レビュー] B(H) lattices, density and arithmetic mean ideals

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|Jul 20, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、B(H)における作用素イデアルの部分格子—特に主イデアル、am-正則、am-∞正則イデアル—が、全イデアル格子において上および下両方で稠密であることを確立する。中心的な貢献は、任意の主イデアル$(\xi)$に対して、$J_a \supseteq (\xi)_a$であるための必要十分条件として$J \supseteq (\widehat{\xi})$となる最適な系列$\widehat{\xi}$の構成であり、この$\widehat{\xi}$は主要化を最小化し、$0 < p < 1$に対して$\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$を満たす。これにより、算術平均イデアルの完全なキャンセレーション理論が得られる。

ABSTRACT

This part of a multi-paper project studies the lattice properties of the arithmetic mean ideals of B(H) introduced by Dykema, Figiel, Weiss, and Wodzicki. We prove: the lattices of all principal ideals, of arithmetic mean or arithmetic mean at infinity stable principal ideals or of principal ideals with a generator that satisfies the Delta_1/2 condition, are all both upper and lower dense in the lattice of general ideals. That is, between any ideal and an ideal (nested above or below respectively) in one of these sublattices, lies another ideal in that sublattice. Among the applications: a principal ideal I is am-stable (I = I_a) if and only if any of its first order arithmetic mean ideals are am-stable if and only if the ideal satisfies the first order equality cancellation property: J_a = I_a implies J = I. We show that this cancellation property can fail even for am-stable countably generated ideals. Similar results hold for arithmetic mean at infinity ideals. Inclusion cancellations do not hold in general even for principal ideals, but for every ideal I there is a largest ideal I^ for which J_a contains I_a implies that J contains I^. When I is principal, I^ too is principal. We show that I=I^ is a strictly stronger property than am-stability. For example, for I the p &lt; 1 power of the principal ideal J generated by diag {1/n}, I^ is the q power of J where 1/p-1/q = 1.

研究の動機と目的

• B(H)における作用素イデアルの格子構造を分析し、特に主イデアルの部分格子とその稠密性の性質に焦点を当てる。
• 特にam安定およびam-∞安定な主イデアルに対して、算術平均イデアルの完全なキャンセレーション理論を確立する。
• 任意の主イデアル$(\xi)$に対して、$J_a \supseteq (\xi)_a$ならば$J \supseteq (\widehat{\xi})$を満たす最適な系列$\widehat{\xi}$を構成し、最大のキャンセレーションを保証する。
• 第一階算術平均キャンセレーション性質（例：$J_a = I_a \Rightarrow J = I$）を用いて、主イデアルがam安定であることを特徴づける。
• 一般に包含キャンセレーションが失敗することを解消するため、$J_a \supseteq I_a \Rightarrow J \supseteq \widehat{I}$を満たす最大のイデアル$\widehat{I}$を同定する。

提案手法

• 作用素イデアルの格子における上および下稠密性の概念を導入し、$\Delta_{1/2}$、am-正則、am-∞正則生成子を有する主イデアルの部分格子が、両方とも上および下稠密であることを証明する。
• 算術平均操作$I_a$、${}_aI$、$I^o$、$I^-$を定義し、それらを用いてイデアルの安定性とキャンセレーションを分析する。
• 主要化理論を応用し、与えられた$\xi \in c_0^*$に対して、すべての$\eta \in c_0^*$について$\sum_{i=1}^n \eta_i \geq \sum_{i=1}^n \xi_i$を満たす$\eta$に対して、$\eta \geq \widehat{\xi}$が漸近的に成り立つような最適な系列$\widehat{\xi}$を構成する。
• 調和系列$\omega$を用いて具体的な例を導出する：$0 < p < 1$に対して$\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$であり、$1/p - 1/p' = 1$を満たす。これは$\nu(\omega)_n \asymp e^n$の漸近的解析を通じて得られる。
• 背理法と系列構成（例：$n_k$、$m_k$、$\eta_j$）を用いて、$\widehat{(\xi)} = (\xi)$ならばすべての$\eta$について$\xi_a \geq c \eta_a$が成り立つことを証明し、最適性を保証する。
• 補題6.15および補題6.12を適用し、$p > 1$および$0 < p < 1$に対して$\widehat{(\omega)^p}$を明示的に計算する。$p > 1$では$F$が得られ、$0 < p < 1$では$\omega^{p'}$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主イデアルの格子は、B(H)における全作用素イデアル格子において上および下両方で稠密か？
• RQ2 主イデアル$I = (\xi)$がam安定であるための必要十分条件は、$I_a$、$I^o$、$I^-$などの第一階算術平均イデアルがすべてam安定であることか？
• RQ3 包含関係$J_a \supseteq I_a$が$J \supseteq I$を含意するか？もし含意しないならば、この含意が成り立つ最大のイデアル$\widehat{I}$は何か？
• RQ4 与えられた$\xi$に対して、$J_a \supseteq (\xi)_a$であるための必要十分条件として$J \supseteq (\widehat{\xi})$となる最適な系列$\widehat{\xi}$は何か？
• RQ5 $0 < p < 1$に対して、$\widehat{\omega^{1/p}}$の正確な形は何か？また、$\omega^{1/p'}$とはどのように関係するか？

主な発見

• 主イデアルの格子、$\Delta_{1/2}$条件イデアルの格子、am-正則イデアルの格子、am-∞正則イデアルの格子は、すべてB(H)における全作用素イデアル格子において上および下両方で稠密である。
• 主イデアル$I = (\xi)$がam安定であることと、$I_a$、$I^o$、$I^-$などの第一階算術平均イデアルがすべてam安定であることは同値である。
• am安定な主イデアルに対してはキャンセレーション性質$J_a = I_a \Rightarrow J = I$が成り立つが、可算生成なam安定イデアルに対しては一般には成り立たない。
• 任意の主イデアル$(\xi)$に対して、$J_a \supseteq (\xi)_a$ならば$J \supseteq \widehat{I}$を満たす最大のイデアル$\widehat{I} = (\widehat{\xi})$が存在し、この$\widehat{\xi}$は主要化の意味で最適である。
• 調和系列$\omega$に対して、$0 < p < 1$では$\widehat{\omega^{1/p}} = \omega^{1/p'}$であり、$1/p - 1/p' = 1$を満たす。
• $\widehat{(\omega)^{1/2}} = (\omega)$であるため、$(\xi)$がam安定であっても、$\widehat{(\xi)} \subset (\xi)$が真部分集合となることがある。