[論文レビュー] Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|May 23, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、foliation 上の横断的インデックス理論を扱うために、ホップ循環コホモロジーを用いた背景独立な幾何的枠組みを導入する。非可換幾何学と量子重力の間の接続を確立し、横断的幾何を支配するホップ代数 $\mathcal{H}_n$ を構成。その循環コホモロジーがゲルファンド＝フクスコホモロジーと同型であることを証明し、特徴的コチェインを用いて局所インデックス公式の具象的実現を達成する。

ABSTRACT

This is primarily a survey of the way in which Hopf cyclic cohomology has emerged and evolved, in close relationship with the application of the noncommutative local index formula to transverse index theory on foliations. Being Diff-invariant, the geometric framework that allowed us to treat the `space of leaves' of a general foliation provides a `background independent' set-up for geometry that could be of relevance to the handling of the the background independence problem in quantum gravity. With this potential association in mind, we have added some new material, which complements the original paper and is also meant to facilitate its understanding. Section 2 gives a detailed description of the Hopf algebra that controls the `affine' transverse geometry of codimension $n$ foliations, and Section 5 treats the relative version of Hopf cyclic cohomology in full generality, including the case of Hopf pairs with noncompact isotropy.

研究の動機と目的

• foliation の葉の空間に対する背景独立な幾何的枠組みを構築すること。これは量子重力に関連する。
• 非可換幾何学を用いて、foliation 上の擬微分作用素の横断的インデックス問題を解消すること。
• 横断的幾何の文脈において、ホップ循環コホモロジーとゲルファンド＝フクスコホモロジーの間の接続を確立すること。
• ホップ循環コホモロジーを、非コンパクトな同相群を含む相対的状況へ一般化すること。
• スペクトル不変量から構成された特徴的コチェインを用いて、局所インデックス公式の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• codimension $n$ のfoliation の横断的フレーム bundle の対称性代数としてホップ代数 $\mathcal{H}_n$ を構成する。
• $\mathcal{H}_n$ がフレーム bundle 上の滑らかな関数の空間に標準的なモジュール代数表現を持つことを定義する。
• $\mathcal{H}_n$-モジュール上の不変トレースを導入し、スペクトル不変量を用いて特徴的コチェインを生成する。
• 普遍的局所インデックス公式を適用し、ゼータ関数の留数と反復交換子を用いてインデックスペアリングを表現する。
• 標準的写像 $\Phi$ を用いて、群コチェインをホップ循環コホモロジー複体内の循環コチェインへと上げる。
• 微分同相写像のジャンプ延長による微分形式の引き戻しを用いて、循環コチェインの明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ循環コホモロジーは、foliation 上の擬微分作用素の横断的インデックスを計算するためにどのように利用可能か？
• RQ2 横断的幾何を制御するホップ代数 $\mathcal{H}_n$ の明確な代数的構造は何か？
• RQ3 絶対的および相対的状況において、ホップ循環コホモロジーとゲルファンド＝フクスコホモロジーの間にはコホモロジー的同型が存在するか？
• RQ4 非コンパクトな同相群を含む、例えば $({\mathcal{H}}_{n+1},\mathfrak{o}_{n,1})$ のようなペアに対し、相対的ホップ循環コホモロジーを拡張可能か？
• RQ5 この幾何的枠組みの背景独立性は、量子重力における背景独立性問題とどのように関係するか？

主な発見

• 横断的幾何に関連する $\mathcal{H}_n$-モジュールの循環コホモロジーは、絶対的および相対的両ケースにおいてゲルファンド＝フクスコホモロジーと同型である。
• codimension 1 におけるゴッドビロン＝ヴェー類および横断的基本類は、特徴的コチェインを介してホップ循環類として具象的に実現される。
• 局所インデックス公式は、反復交換子とディクシエイ・トレースを含む、局所コチェインの有限線形結合として実現される。
• 標準的写像 $\Phi$ は、群 1-コチェイン $C_{1,0}(gv)$ を循環コチェインに変換し、その評価には $\log\varphi'$ の微分が含まれ、ゴッドビロン＝ヴェー類を符号化する。
• 体積形式 $gv$ をジャンプ写像 $\widetilde{\sigma}(1,\varphi)$ で引き戻すと、$\frac{d}{dx}(\log\varphi') \, dt \wedge dx \wedge dy$ に比例する 3-形式が得られ、これが循環コチェインを決定する。
• 得られた循環コチェインは群代数の単位元にのみ台を持つ。その形は $\chi_\tau(\delta_1)(f^0 U_\varphi^*, f^1 U_{\varphi^{-1}}^*) = \int_{F^+\mathbb{R}} f^0 \cdot \widetilde{\varphi}^*(f^1) \cdot y \frac{d}{dx}(\log\varphi') \frac{dx \wedge dy}{y^2}$ である。