[論文レビュー] Backward stochastic Volterra integral equations with jumps in a general filtration

Alexandre Popier|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のフィルトレーションにおけるジャンプ付き型Iおよび型IIの後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）について、$L^p$-解の存在、一意性、および時間正則性を確立する。先行研究をブラウン運動・ポアソン設定にとどまらず拡張する。アプローチは固定点法とBDG型不等式を用い、最小限のフィルトレーション仮定（càdlàg martingaleおよび一般の補正子をもつ確率測度を含む）の下で、経路正則性と可積分性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study backward stochastic Volterra integral equations introduced in [26, 45] and extend the existence, uniqueness or comparison results for general filtration as in [31] (not only Brownian-Poisson setting). We also consider Lp-data and explore the time regularity of the solution in the It{\\^o} setting, which is also new in this jump setting.

研究の動機と目的

• 後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIEs）の解の存在および一意性に関する結果を、ブラウン運動・ポアソンのフィルトレーション設定にとどまらず拡張すること。
• 完全かつ右連続な一般のフィルトレーション仮定の下で、型Iおよび型IIのジャンプ付きBSVIEsの$L^p$-解理論を確立すること。
• ジャンプを含むイト設定における解過程$Y$の時間正則性を分析し、連続ケースにおける先行結果を一般化すること。
• càdlàg martingaleおよび一般の補正子をもつ確率測度を含む一般の半マルティンゲール成分を、BSVIEフレームワークに組み込むこと。

提案手法

• 適切な$L^p$-空間における固定点法を用いて、型I BSVIEsの解四重対$(Y, Z, U, M)$の存在および一意性を証明する。
• BDG型不等式を適用して、マルティンゲール項の二次変動を制御し、$Y$の経路正則性推定を得る。
• 解から構成される半マルティンゲール$X_t(u)$に対して伊藤の公式を適用し、$Y(t)$、$Z(t,s)$、$U(t,s,x)$、$M(t,s)$を含む事前推定を得る。
• フィルトレーションに最小限の仮定を課す：完全性および右連続性のみ。これにより、一般の半マルティンゲール成分$B$、$X^\bullet$、$\tilde{\nu}^\natural$およびマルティンゲール$M$を許容する。
• 生成子$f$のバウンディングとドリフト項および拡散項におけるヤングの不等式を用いて、解成分の$L^p$-推定を得る。
• M-解の概念を用いて、解がマルティンゲール表現性を満たすことを保証し、これにより経路正則性の導出に不可欠な時間増分$Y(t) - Y(t')$の制御が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のフィルトレーションにおいて、ブラウン運動・ポアソン設定に制限されないジャンプ付きBSVIEsの$L^p$-解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 フィルトレーションが一般でジャンプおよび半マルティンゲール成分を含む場合、$L^p$-設定における解$Y$の時間正則性はいかなるものか？
• RQ3 ブラウン運動やポアソン過程が存在しない状況で、$Z$、$U$、$M$の成分は$Y$の正則性にどのように寄与するか？
• RQ4 一般の半マルティンゲールノイズおよびジャンプ測度を伴う非マルコフ的かつ非McKean構造のBSVIEsに対応する固定点法をどのように適合できるか？
• RQ5 解の経路的正則性（時間に関する）を保証するための、正確な$L^p$-推定は何か？

主な発見

• 本稿は、一般のフィルトレーションにおける型I BSVIEsについて、$L^2$-解の存在および一意性を証明し、ブラウン運動またはポアソンのフィルトレーションを要件としていた先行研究を一般化する。
• 生成子$f$および終端条件$\tilde{\nu}^\natural$に対する弱い仮定の下で、解$Y$の$L^p$-時間正則性を確立し、ジャンプ設定への経路正則性理論の拡張を実現する。
• 解$Y$は、$f$および$\Phi$の適切な可積分性および連続性条件の下で、空間$D([0,T]; \mathbb{L}^p_{\mathbb{F}}(\Omega))$に属する。これは、$L^p$-ノルムにおいて右連続で左極限を持つ経路（càdlàg）を持つことを意味する。
• BDGおよびヤングの不等式を用いて、解成分$Z$、$U$、$M$の鋭い$L^p$-推定を得た。これらは正則性の証明に不可欠である。
• M-解の概念により、解がマルティンゲール表現性を満たすことが保証され、これにより時間増分$Y(t) - Y(t')$が確率積分によって制御可能になる。
• 解析により、解$Y$が必ずしもほとんど確実にcàdlàgではないが、$L^p$-経路はcàdlàgであることが確認された。これは、確率的制御やPDEへの多くの応用において十分である。