[論文レビュー] Badly Approximable Numbers and the Growth Rate of the Inclusion Length of an Almost Periodic Function

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元論的手法を用いて、準周期的ほぼ周期的関数の包含長の増加率の下界を確立し、フーリエ指数のディオファントス近似性質と関連付ける。悪く近似可能な指数に対しては、この下界が、同時にディオファントス近似から得られる上界と漸近的に一致することを示しており、推定のタイトさを示唆している。

ABSTRACT

We study the growth rate of the inclusion length of an almost periodic function. For a given a. p. function such growth rate depends on the algebraic structure of Fourier exponents, i. e. on how good they can be approximated by rational numbers. In additional, as appears from the definition, the inclusion length carries some information about the translation numbers (almost periods). Our result is a lower bound of the growth rate of the inclusion interval of a quasiperiodic function (theorem 3). Here we use methods from dimension theory. We do not assume anything about exponents, but rationally independence. This suggest an idea that this lower bound can be reached (in asymptotic sense) for some "bad" exponents. Koichiro Naito in his papers on estimates of the fractal dimension of almost periodic attractors proved an upper bound of the inclusion length for some class of a.p. functions, using simultaneous Diophantine approximations. For the special case of badly approximable exponents we can see that the both estimates (if we consider them as asymptotic estimates) are coincide (see theorem 4). We hope that ideas and results presented in this paper can be useful not only to understand the nature of badly approximable numbers and almost periods, but also for more detailed understanding of the structure of almost periodic attractors.

研究の動機と目的

• フーリエ指数の近似性質に基づいて、ほぼ周期的関数の包含長の増加率を分析すること。
• 指数の代数的構造を通じて、包含長と翻訳数（ほぼ周期）を結びつけること。
• 指数の有理独立性のみを仮定する最小の条件下で、包含長増加率の下界を確立すること。
• 悪く近似可能な指数に対して、この下界が漸近的にタイトであるかどうかを調査すること。
• 力学系と数論の結果を統合し、特にほぼ周期的アトラクタの文脈で関連づけること。

提案手法

• 次元論的手法を用いて、ほぼ周期的関数の包含長を分析する。
• 特に悪く近似可能な数に注目し、ディオファントス近似の道具を適用する。
• フーリエ指数の代数的構造とその有理近似の質を検討する。
• 有理独立性を超えた特定の算術的構造を仮定せずに、包含長増加率の下界を導出する。
• 前人研究による、近似アトラクタのフラクタル次元に関する Koichiro Naito の結果から得られる上界と、導出された下界を比較する。
• 悪く近似可能な指数の特別な場合において、下界と上界を漸近的解析により比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ周期的関数の包含長の増加率は、そのフーリエ指数のディオファントス近似性質にどのように依存するか？
• RQ2 指数の有理独立性のみを仮定する条件下で、包含長増加率に対して非自明な下界を確立できるか？
• RQ3 導出された下界は、悪く近似可能な指数のクラスに対して漸近的にタイトか？
• RQ4 包含長と翻訳数（ほぼ周期）は、フーリエスペクトルの算術的構造をどの程度反映しているか？
• RQ5 数論と力学系の相互作用を活用することで、ほぼ周期的アトラクタの構造をよりよく理解できるか？

主な発見

• フーリエ指数の有理独立性のみを仮定する条件下で、準周期的関数の包含長増加率の下界が確立された。
• 悪く近似可能な指数のクラスにおいて、この下界が漸近的にタイトであることが示され、前人研究によるアトラクタのフラクタル次元に関する上界と一致した。
• 包含長増加率は、特に悪く近似可能な場合に、フーリエ指数の有理近似の質に根本的に依存している。
• 結果から、悪く近似可能な指数は、包含長増加率が最小の漸近的レートに達する臨界的なケースを表していると考えられる。
• 指数の代数的構造を通じて、包含長と翻訳数の関係が確認された。
• 指数の数論的性質が、ほぼ周期的関数の幾何的・力学的複雑性を支配しているという考えが、結果から支持された。