[論文レビュー] Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games

Manfred Einsiedler, Jimmy Tseng|ArXiv.org|Dec 13, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ベクトルを固定した場合と行列を固定した場合の両方において、アフィン形式の悪く近似可能な系の集合がシュミットゲームの意味で「勝利可能」であるというクレインボックの予想を証明する。力学系理論とユニモジュラー格子の理論を用いて、著者たちは、これらの集合が広範なクラスのフラクタルに制限されてもなお勝利可能であることを確立し、さまざまな幾何的制約下でもその頑健性とフルハウスドルフ次元の完全性を確認する。

ABSTRACT

A badly approximable system of affine forms is determined by a matrix and a vector. We show Kleinbock's conjecture for badly approximable systems of affine forms: for any fixed vector, the set of badly approximable systems of affine forms is winning (in the sense of Schmidt games) even when restricted to a fractal (from a certain large class of fractals). In addition, we consider fixing the matrix instead of the vector where an analog statement holds.

研究の動機と目的

• 固定されたベクトルに対して、悪く近似可能なアフィン形式の系の集合がシュミットゲームにおいて勝利可能であることを解決すること。
• 大きなクラスのフラクタルにまで勝利性を拡張し、全空間を超えた頑健性を示すこと。
• 行列を固定した場合に類似の勝利性が成り立つことを示し、新しいクラスの非同次ディオファントス近似問題に取り組むこと。
• 特異な系における無限に悪く近似可能な行列の集合の構造を調査すること。
• 絶対的減少率を持つ測度を備えたフラクタル部分集合において、強勝利性および一般化された勝利性の可能性を探ること。

提案手法

• シュミットのゲーム理論を用いて、ディオファントス近似条件によって定義される集合の勝利性を証明する。
• 特に1パラメータの対角フロー $g_t$ による共役を用いたユニモジュラー格子空間上の力学的解析を適用する。
• 測度の $\eta$-減少性の概念とマールシュトロームのスライシング定理を用いて、フラクタルとの交差を分析する。
• 格子への作用を制御する $L_A(\mathbf{b})$ の構造と、フロー変換下での最小ベクトルのサイズを制御する。
• 強勝利性とクェイシシンメトリック不変性の概念を用いて、勝利結果を強化する。
• 格子点の $g_T$-作用の振る舞いを分析し、ノルム推定に基づく背理法を用いてゲーム戦略の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ に対して、集合 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ は勝利可能か？
• RQ2 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ の勝利性は、$\mathbb{R}^{m+n}$ のフラクタル部分集合に制限されても保持されるか？
• RQ3 任意の固定された行列 $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ に対して、$\mathbf{Bad}_A(m,n)$ は勝利可能か？
• RQ4 特異な $A$ に対して、無限に悪く近似可能な行列の集合 $\mathbf{Bad}^\infty_A(m,n)$ は強勝利性を有するか？
• RQ5 絶対的 $\eta$-減少率測度を備えた部分集合 $K \subset \widetilde{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ において、勝利性が一般化可能か？

主な発見

• 任意の固定された $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ に対して、集合 $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ は勝利可能であり、クレインボックの予想が裏付けられる。
• $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ の勝利性は、絶対的 $\eta$-減少率測度を備えた任意のフラクタル部分集合に制限されても保持される。
• 任意の固定された行列 $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ に対して、集合 $\mathbf{Bad}_A(m,n)$ は勝利可能であり、以前の結果が一般ケースに拡張される。
• 無限に悪く近似可能なベクトルの集合 $\mathbf{Bad}^\infty_A(m,n)$ は、特異な行列 $A$ に対しても勝利可能であることが示された。
• $\mathbf{Bad}^\mathbf{b}(m,n)$ および $\mathbf{Bad}_A(m,n)$ の勝利集合は、クェイシシンメトリック写像の下でも保存される強勝利性を有する。
• これらの結果は、$\mathbf{Bad}(m,n)$ がフルハウスドルフ次元を有し、フラクタル上でも勝利可能であることを示唆し、$\eta$-減少率測度に関するより広範な予想を支持する。