[論文レビュー] On shrinking targets for Z^m actions on tori

Yann Bugeaud, Stephen Harrap+2 more|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の ℤ^m 動作における収縮ターゲット問題を検討し、非有理回転を高次元線形形式へ一般化する。行列 A の軌道による悪い近似を受ける点の集合である Bad_A が、任意の正規フラクタル集合と交差する際に、可能な最大のハウスドルフ次元の部分集合をなすことを証明する。これは、ディオファントス近似の古典的結果を高ランク作用およびフラクタル幾何学へと拡張するものである。

ABSTRACT

Let A be an n by m matrix with real entries. Consider the set Bad_A of x \in [0,1)^n for which there exists a constant c(x)>0 such that for any q \in Z^m the distance between x and the point {Aq} is at least c(x) |q|^{-m/n}. It is shown that the intersection of Bad_A with any suitably regular fractal set is of maximal Hausdorff dimension. The linear form systems investigated in this paper are natural extensions of irrational rotations of the circle. Even in the latter one-dimensional case, the results obtained are new.

研究の動機と目的

• 非有理回転の古典的収縮ターゲット結果を、トーラス上の高ランク ℤ^m 動作へ一般化すること。
• 均一なディオファントス近似境界を持つ点の集合である Bad_A とトーラスのフラクタル部分集合との交差を研究すること。
• フラクタルの正則性条件下で、この交差が可能な最大のハウスドルフ次元に達することを確立すること。
• 行列作用を通じて、1次元ディオファントス近似から高次元線形形式へと結果を拡張すること。
• 既存の悪く近似可能な集合および収縮ターゲットに関する結果を、度解析的数論における統一的かつ一般化された枠組みへと統合すること。

提案手法

• Bad_A を、すべての非ゼロ q ∈ ℤ^m に対して ||Aq - x|| ≥ c(x)|q|^{-m/n} を満たす x ∈ [0,1)^n の集合として定義する。
• 最良近似の理論とベクトル列 {y_i} のギャップをもつ部分列を用いて、入れ子になった集合族 B_{y_φ(i)}(c) を構成する。
• 均一近似境界によって定義される集合の次元に関する定理3を適用し、B_{y_φ(i)}(c) の次元を下から抑え込む。
• 三角不等式とノルム推定を用いて、||Aq - x|| に対する一様な下界を導出し、十分に小さい c に対して Bad_A ∩ K ⊇ B_{y_φ(i)}(c) の包含関係を確立する。
• 列 {y_φ(i)} のギャップ性と ||A^T y_i|| の推定を用いて、近似における誤差項を制御する。
• K の正則性と c → 0 のときの次元の収束を組み合わせることで、dim(Bad_A ∩ K) = dim(K) = δ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規フラクタル集合 K ⊂ [0,1)^n と Bad_A の交差のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 ℤ^m 動作におけるトーラス上の収縮ターゲット問題は、非有理回転に関する古典的結果をどのように一般化するか？
• RQ3 K が次元 δ > n−1 のフラクタルであるとき、Bad_A ∩ K の最大次元が保たれるか？
• RQ4 行列 A の軌道による悪い近似を受ける点の集合がフラクタルと交差する際に、フル次元を保つ条件は何か？
• RQ5 結果が行列 A の構造および近似列の選択にどの程度依存するか？

主な発見

• 任意の正規フラクタル K ⊂ [0,1)^n に対して、Bad_A と K の交差のハウスドルフ次元は δ に等しい。
• この結果は、近似性質が退化する行列に相当する例外的集合 Mat_{n×m}^*(ℝ) を除く、すべての行列 A ∈ Mat_{n×m}(ℝ) に対して成り立つ。
• このような A に対して、Bad_A ∩ K は可能な最大次元を有し、これは悪く近似可能な点がフラクタル的意味で K に稠密であることを示唆する。
• 証明は、最良近似のギャップ列を構成し、関連する集合 B_{y_φ(i)}(c) が次元において Bad_A ∩ K を下から近似することに依存する。
• ノルム推定と三角不等式を用いて、十分に小さい c > 0 に対して B_{y_φ(i)}(c) ⊆ Bad_A ∩ K の包含関係を確立する。
• 定理3による下界と K の正則性による上界を組み合わせることで、Bad_A ∩ K の次元が δ に等しいことが示される。