[論文レビュー] Balls-in-boxes duality for coalescing random walks and coalescing Brownian motions

Steven N. Evans, Xiaowen Zhou|ArXiv.org|Jun 17, 2004

Stochastic processes and statistical mechanicsMathematics参考文献 27被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、空間における粒子の分布と空間的区間の占有状況を関連させることで、凝集するランダムウォークと凝集するブラウン運動の間の新しい双対性を確立する。この双対性により、一方の系における粒子位置の同時分布が、双対系における区間占有インジケータと一致することが示される。主な貢献は、時間に依存する非定常な双対性であり、ポisson型の流入を伴う系へも拡張可能であり、アーリー関数を用いて粒子クラスタの極限分布を明示的に計算可能である。

ABSTRACT

We present a duality relation between two systems of coalescing random walks and an analogous duality relation between two systems of coalescing Brownian motions. Our results extends previous work in the literature and we apply it to the study of a system of coalescing Brownian motions with Poisson immigration.

研究の動機と目的

• 凝集するランダムウォークと凝集するブラウン運動の間の双対性を確立し、確率過程における既知の双対性結果を拡張すること。
• 粒子と空間的ボックスが時刻0に限らず、異なる時刻に起源を持つ系に対しても双対性を一般化すること。
• ポisson型流入を伴う凝集するブラウン運動の系を分析し、粒子クラスタの漸近的分布を導出すること。
• 無限時間における粒子位置の極限分布を、確率的強度測度とコックス過程を用いて特徴付けること。
• アーリー関数を用いて、区間 ]a,b] に粒子が存在しない確率および有界区間内の粒子の期待数の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 離散時間における凝集するランダムウォークの組み合わせ的恒等式から双対性を導出し、弱収束を用いて連続時間における凝集するブラウン運動へと拡張する。
• 2つの系を定義する：1つは出会った粒子が融合する系、もう1つは固定されたボールと時間的に変化するボックスを持つ系。両者のインジケータ配列の同時分布が同一であることが示される。
• 粒子とボックスが異なる時刻に開始される場合にも対応できるように、2つの系の間の時間に依存する非定常な結合を導入することで双対性を拡張する。
• 粒子系の回避関数を用いる。この関数は凝集するペア間の距離の積分と関連づけられ、コックス過程のラプラス関数と一致することが示される。
• 粒子クラスタの極限分布は、凝集するペア間の距離の時間積分から生じるランダムRadon測度 $ M_{\tau} $ によって特徴付けられる。
• 区間 $]a,b] $ に粒子が存在しない確率およびその区間内の粒子の期待数について、アーリー関数とその微分を用いて明示的な式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凝集するランダムウォークと凝集するブラウン運動の間で、粒子位置の同時分布と区間占有状況の両方を保存する双対性を確立できるか？
• RQ2 粒子と空間的ボックスが時刻に同期していない系に対しても、双対性をどのように拡張できるか？
• RQ3 時間 $ \to \infty $ のとき、凝集するブラウン運動とポisson型流入を伴う系における粒子クラスタの極限分布は何か？
• RQ4 このような系において、与えられた区間内に粒子が存在しない確率を明示的に計算できるか？
• RQ5 系の定常状態において、有界区間内の粒子の期待数は何か？

主な発見

• 時間に依存する非定常な結合のもとで、凝集するブラウン運動系における粒子位置の同時分布は、固定ボールを伴う凝集するブラウン運動系における区間占有インジケータの同時分布と双対的である。
• レート $ \lambda $ のポisson型流入を伴う系では、粒子クラスタの極限分布は、ランダム強度測度 $ \lambda M_{\infty} $ を持つコックス過程として特徴付けられる。ここで $ M_{\infty} $ は凝集するペア間の距離の時間積分である。
• 無限時間における区間 $]a,b] $ に粒子が存在しない確率は $ \frac{\mathrm{Ai}(\lambda^{1/3}(b-a))}{\mathrm{Ai}(0)} $ である。ここで $ \mathrm{Ai} $ はアーリー関数である。
• 定常状態における区間 $]a,b] $ 内の粒子の期待数は $ (3\lambda)^{1/3} \frac{\Gamma(2/3)}{\Gamma(1/3)} (b-a) $ である。
• 極限測度 $ M_{\infty} $ はほとんど確実に有限であり、かつ原子を持つため、対応するコックス過程は単純な点過程ではない。これは、粒子クラスタに1より大きい重複度を持つ可能性があることを意味する。
• 無限時間における粒子配置 $ S_{\infty} $ のほとんど確実な構成が、$ \mathbb{R}_{-} \times \mathbb{R} $ 上のポアソン確率測度を用いて与えられる。ここで粒子は $ \phi(s,0,x) $ の位置に配置される（$ s \leq 0 $ に対して）。