[論文レビュー] Banach Spaces Of The Type Of Tsirelson

Spiros A. Argyros, Irene Deliyanni|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、自然数の有限部分集合のコンパクト族 $ \frak M $ とパラメータ $ \theta \in (0,1) $ によってインデックス化される、ツィレルソン型バナッハ空間 $ T_{\frak M}^\theta $ の族を導入する。反射的性が、$ \frak M $ のカントール・ベンディクソン指数が $ n $ を超え、かつ $ \theta > 1/n $ である場合に成立することを確立する。また、指数が有限のとき $ T_{\frak M}^\theta $ は $ \ell^p $ を含み、指数が $ \omega $ を超えると $ \ell^p $ を含まない。特に、$ \frak M $ がサイズが高々 $ n $ の部分集合すべてからなるとき、$ T_{\frak M}^\theta $ は $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $ を満たす $ \ell^p $ に同型である。

ABSTRACT

To any pair ( M , theta ) where M is a family of finite subsets of N compact in the pointwise topology, and 0{1/n} then T_M^theta is reflexive. Moreover, if the Cantor-Bendixson index of M is greater than omega then T_M^theta does not contain any l^p, while if the Cantor-Bendixson index of M is finite thenT_M^theta contains some l^p or c_o . In particular, if M ={ A subset N : |A| leq n } and {1/n}

研究の動機と目的

• 自然数の有限部分集合のコンパクト族 $ \frak M $ とパラメータ $ \theta \in (0,1) $ を用いてツィレルソン空間の一般化を構成すること。
• 得られたバナッハ空間 $ T_{\frak M}^\theta $ の反射的性を、$ \frak M $ のカントール・ベンディクソン指数と $ \theta $ の値によって特徴付けること。
• $ \frak M $ の位相的複雑さに応じて、$ T_{\frak M}^\theta $ に $ \ell^p $ または $ c_0 $ の同型コピーが含まれるか否かを調査すること。
• $ \frak M $ がサイズが高々 $ n $ のすべての部分集合からなる場合に、$ T_{\frak M}^\theta $ と $ \ell^p $ の明確な同型関係を確立すること。
• 特定の条件下で、$ T_{\frak M}^\theta $ 上の暗黙的ノルムが $ \ell^p $-ノルムと同値であることを構成的証明すること。

提案手法

• 空間 $ T_{\frak M}^\theta $ は、$ c_{00} $ をノルム $ \|\cdot\| $ で完備化したものであり、$ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \theta \sup \sum_{i=1}^n \|E_i x\| \} $ を満たす暗黙的方程式を満たす。ここで、上界は $ \mathbb{N} $ の連続する有限部分集合の族 $ (E_1, \dots, E_n) $ に対する $ \frak M $-適応族にわたる。
• $ \frak M $-適応族 $ (E_1, \dots, E_n) $ は、ある $ A = \{m_1, \dots, m_n\} \in \frak M $ が存在して、$ m_1 \leq E_1 < m_2 \leq E_2 < \cdots < m_n \leq E_n $ を満たすことで定義される。
• $ [-1,1]^{(\mathbb{N})} $ の部分集合列 $ \{K_s\}_{s=0}^\infty $ が帰納的に定義され、双対単位球を表す。$ K_0 = \{ \pm e_n \} $ であり、$ K_{s+1} = K_s \cup \{ \theta (f_1 + \cdots + f_d) \mid d \leq n, f_i \text{ は連続的かつ } K_s \text{ に属する} \} $ である。
• ノルム $ \|x\| $ が $ \sup_{f \in \bigcup_{s=1}^\infty K_s} |\langle f, x \rangle| $ に等しいことが示され、双対性および関数値に対する帰納的推定が可能になる。
• 反射的性は、カントール・ベンディクソン指数に関する条件により確立される：$ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) \geq n+1 $ かつ $ \theta > 1/n $ ならば、$ T_{\frak M}^\theta $ は反射的である。
• $ \ell^p $ への同型写像は、関数値に対する帰納的推定と、ベクトルを $ x' $ と $ x'' $ の成分に分解することにより、$ \|x\| \leq \|x\|_p $ および $ \|x\| \geq c \|x\|_p $（$ c > 0 $）を示すことで証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数の有限部分集合のコンパクト族 $ \frak M $ とパラメータ $ \theta \in (0,1) $ に対して、関連するツィレルソン型空間 $ T_{\frak M}^\theta $ が反射的であるための条件は何か？
• RQ2 $ T_{\frak M}^\theta $ が $ 1 < p < \infty $ のある $ \ell^p $ に同型コピーを含むための条件は何か？また、$ c_0 $ に同型コピーを含むための条件は何か？
• RQ3 $ T_{\frak M}^\theta $ が $ \ell^p $ を含まないのはいつか？これは $ \frak M $ のカントール・ベンディクソン指数とどのように関係しているか？
• RQ4 $ \frak M $ がサイズが高々 $ n $ のすべての部分集合からなる場合に、$ \theta $、$ \frak M $ の集合のサイズ $ n $、および $ T_{\frak M}^\theta $ の $ \ell^p $-同型型との正確な関係は何か？
• RQ5 特定のパrameter制約のもとで、$ T_{\frak M}^\theta $ 上の暗黙的ノルムが $ \ell^p $-ノルムと同値であることをどのように示せるか？

主な発見

• カントール・ベンディクソン指数 $ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) \geq n+1 $ かつ $ \theta > 1/n $ ならば、$ T_{\frak M}^\theta $ は反射的である。
• カントール・ベンディクソン指数 $ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) > \omega $ ならば、$ T_{\frak M}^\theta $ は $ 1 \leq p \leq \infty $ のすべての $ \ell^p $ に同型コピーを含まない。
• カントール・ベンディクソン指数 $ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) $ が有限ならば、$ T_{\frak M}^\theta $ は $ 1 < p < \infty $ のある $ \ell^p $ または $ c_0 $ に同型コピーを含む。
• $ \frak M = \{ A \subset \mathbb{N} : |A| \leq n \} $ かつ $ \theta > 1/n $ ならば、空間 $ T_{\frak M}^\theta $ は $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $ を満たす $ \ell^p $ に同型である。
• $ c_{00} $ 上のノルム $ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \frac{1}{n^{1/q}} \sup \sum_{i=1}^d \|E_i x\| \} $（$ d \leq n $）は、$ 1/p + 1/q = 1 $ を満たすとき、$ \ell^p $-ノルムと同値である。