[論文レビュー] Basic properties of the Multivariate Fractional Brownian Motion

Pierre‐Olivier Amblard, Jean‐François Coeurjolly+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 31被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、共分散構造を通じて多変量分数 Browm 運動（mfBm）の包括的特徴付けを確立し、スペクトル的および時間領域の表現を導出し、超線形過程の部分和が mfBm に収束することを証明するとともに、循環埋め込みを用いた Wood と Chan の手法に基づく効率的な FFT による完全シミュレーションアルゴリズムを提示する。主な貢献は、一般の Hurst パラメータと相互相関を有する長距離自己相関性・自己相似性を示す多変量過程を統一的フレームワークでモデル化することにある。

ABSTRACT

This paper reviews and extends some recent results on the multivariate fractional Brownian motion (mfBm) and its increment process. A characterization of the mfBm through its covariance function is obtained. Similarly, the correlation and spectral analyses of the increments are investigated. On the other hand we show that (almost) all mfBm's may be reached as the limit of partial sums of (super)linear processes. Finally, an algorithm to perfectly simulate the mfBm is presented and illustrated by some simulations.

研究の動機と目的

• 単変量分数 Browm 運動を一般の Hurst パラメータと相互相関を有する多変量フレームワークに拡張すること。
• mfBm をその共分散行列関数を用いて特徴付け、その増分の依存構造を分析すること。
• mfBm が超線形過程の部分和の極限として生じることを確立すること。
• 循環埋め込みと FFT を用いて計算コストを低減した、mfBm の計算的に効率的かつ完全なシミュレーションアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• mfBm の一般形の共通共分散関数を導出し、$H_i + H_j = 1$ かどうかに応じた場合分けを行い、パrameter $\rho_{i,j}$ と $\eta_{i,j}$ を用いる。
• mfBm の時間領域およびスペクトル領域における確率積分表現を確立し、共分散行列を用いた完全な特徴付けを可能にする。
• 自己相似性 mfBm を定常増分過程に結びつけるために Lamperti 変換を適用し、スペクトル解析を容易にする。
• 循環埋め込みと FFT を用いて、mfBm の増分過程を計算的に効率的にシミュレートし、計算複雑性を低減する。
• ブロック循環行列の固有値分解を用いて、所定の共分散構造を持つ $p$ 次元ガウス過程フィールドを構築する。
• 独立同一分布に従う標準正規ベクトルを生成し、スペクトル変換を適用し、増分を累積的に和算することで完全シミュレーションアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる Hurst パラメータを有する成分間の共通共分散を含めた、多変量分数 Browm 運動の共分散関数による完全な特徴付けはどのように可能か？
• RQ2 mfBm の増分過程のスペクトル的および相関的性質は何か？ これらは長距離自己相関性をどのように反映するか？
• RQ3 超線形過程の部分和が多変量分数 Browm 運動に収束するための条件は何か？
• RQ4 FFT と循環埋め込みを活用することで計算コストを低減できる、効率的かつ正確な mfBm シミュレーションアルゴリズムを構築可能か？
• RQ5 シミュレーションアルゴリズムのスペクトル分解段階における固有値の非負性を保証する条件は何か？

主な発見

• mfBm の共通共分散関数は、周辺 Hurst パラメータ $H_i$, $H_j$、相関 $\rho_{i,j}$、および非対称性パラメータ $\eta_{i,j}$ によって完全に決定され、$H_i + H_j = 1$ かどうかで異なる形を取る。
• 増分過程の mfBm は $H_i + H_j > 1$ のとき長距離自己相関性を示し、そのスペクトル密度は共分散関数のフーリエ変換から導出される。
• mfBm は超線形過程の部分和の有限次元分布における極限として表現可能であり、単変量の関数中心極限定理を多変量に拡張する。
• 提案されたシミュレーションアルゴリズムは $\mathcal{O}(p^2 m \log m + m p^3)$ の計算複雑性を達成し、$m$ が 2 の累乗である場合に高次元過程に対してスケーラブルである。
• アルゴリズムは共分散行列の循環埋め込みを構築することで完全シミュレーションを保証し、$m$ が $2(n-1)$ よりも大きい最初の 2 の累乗である場合に数値安定性が確認された。
• シミュレーションによる検証では、因果的でバランスの取れた、および一般の mfBm について、Hurst パラメータと相関パラメータを変化させた場合の現実的なサンプルパスが得られた。