[論文レビュー] Bayesian nonparametric estimation of Simpson's evenness index under $\alpha-$Gibbs priors

Annalisa Cerquetti|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2パラメータのポアソン＝ディリクレ事前分布の下で、2次損失関数を用いて、シンプソンの均等性指標のベイズ非パラメトリック推定量を導出する。主な貢献は、α-ギブスクラスにおけるシンプソン指標の事後平均および分散の閉形式表現であり、ディリクレ＝ユエンズ、ファイザー、α安定モデルに対して明示的な結果が得られ、有限標本からの種の均等性に関する正確な推論を可能にする。

ABSTRACT

A Bayesian nonparametric approach to the study of species diversity based on choosing a random discrete distribution as a prior model for the unknown relative abundances of species has been recently introduced in Lijoi et al. (2007, 2008). Explicit posterior predictive estimation of {\it species richness} has been obtained under priors belonging to the $\alpha$-Gibbs class (Gnedin & Pitman, 2006). Here we focus on posterior estimation of {\it species evenness} which accounts for diversity in terms of the proximity to the situation of uniform distribution of the population into different species. We focus on Simpson's index and provide a Bayesian estimator under quadratic loss function, with its variance, under some specific $\alpha-$Gibbs priors.

研究の動機と目的

• 種の多様性の尺度としてのシンプソン指数を用いた、種の均等性を推定するベイズ非パラメトリックアプローチの開発。
• 2パラメータのポアソン＝ディリクレ（α, θ）モデルにおける2次損失関数の下で、明示的な事後推定量を導出すること。
• 特にディリクレ＝ユエンズ、ファイザー、α安定モデルを含む、特定のα-ギブス事前分布におけるシンプソン指数の事後平均および分散の閉形式表現を提供すること。
• 既存の種数推定の非パラメトリック手法を、均等性の推定にまで拡張し、種の多様性に関するベイズ非パラメトリック枠組みを完成させること。

提案手法

• 種の相対豊度の共役モデルとして、α ∈ (0,1) かつ θ > −α、または α < 0 かつ θ = |α|ξ である2パラメータのポアソン＝ディリクレ（α, θ）事前分布を用いる。
• α-ギブス事前分布の下での交換可能性を持つパーティションに対するピットマンのEPPFに基づく事後予測分布を適用する。
• 観測された種の個体数（n1,…,nk）を条件とした順序付き原子の条件付き分布を用いて、シンプソン指数 Hs = 1 − ∑Pj² の事後平均を導出する。
• ディリクレ成分の2次モーメントとPD(α, θ + kα)過程の構造的分布を用いて、事後分散を計算する。
• 一般式を3つの主要モデルに特化する：ディリクレ＝ユエンズ（α=0）、ファイザー（θ = |α|ξ）、α安定（θ=0）であり、明示的な表現が得られる。
• 分割確率の組合せ的構造を扱うために、一般化された上昇階乗と非中心一般化スターリング数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2パラメータのポアソン＝ディリクレ事前分布の下で、シンプソンの均等性指標の事後平均推定量は何か？
• RQ2 ベイズ非パラメトリック枠組みにおいて、シンプソン指数の事後分散を解析的に導出する方法は何か？
• RQ3 ディリクレ＝ユエンズ、ファイザー、α安定モデルにおける、シンプソン指数の事後平均および分散の明示的表現は何か？
• RQ4 2次損失関数の下でのベイズ推定量は、頻度主義的非パラメトリック推定量と比べてどのように異なるか？

主な発見

• （α, θ）モデルにおけるシンプソン指数の事後平均は、E(Hs | n1,…,nk) = 1 − [∑(nj − α)² + (θ + kα)(1 − α)] / (θ + n)² である。
• シンプソン指数の事後分散は、ディリクレ成分の4次および2次モーメント、および正規化された安定過程を用いた関数として導出され、(θ + n)⁻⁴ 項を含む閉形式表現を持つ。
• ディリクレ＝ユエンズモデル（α = 0）では、事後平均は E(Hs | n1,…,nk) = 1 − [∑nj² + θ] / (θ + n)² に簡略化される。
• ファイザーのモデル（θ = |α|ξ）では、事後平均は E(Hs | n1,…,nk) = 1 − [∑(nj − α)² + (|α|ξ − kα)(1 + α)] / (|α|ξ + n)² である。
• α安定モデル（θ = 0）では、事後平均は E(Hs | n1,…,nk) = 1 − [∑(nj − α)² + kα(1 − α)] / n² である。
• 事後分散の公式は明示的に導出され、ディリクレおよびPD(α, θ + kα)分布のモーメント計算を通じて検証され、既知の極限挙動と整合することが確認された。