[論文レビュー] Bell's inequality: Physics meets Probability

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、ベルの不等式の破れを、非局所性や実在性の失敗の単なる証拠としてではなく、確率的不適合性の現れ、すなわち複数の測定状況を1つのコルモゴロフ確率空間に同時に実現することは不可能である、という点に再解釈している。主な貢献は、ベルの不等式がこのような不適合性の十分条件であることを示したことであり、これは量子力学が完全である可能性を示唆し、非コルモゴロフ的確率や文脈性といった代替解釈を検討する必要があることを意味する。

ABSTRACT

We remind the viewpoint that violation of Bell's inequality might be interpreted not only as an evidence of the alternative -- either nonlocality or ``death of reality'' (under the assumption the quantum mechanics is incomplete). Violation of Bell's type inequalities is a well known sufficient condition of incompatibility of random variables -- impossibility to realize them on a single probability space. Thus, in fact, we should take into account an additional interpretation of violation of Bell's inequality -- a few pairs of random variables (two dimensional vector variables) involved in the EPR-Bohm experiment are incompatible. They could not be realized on a single Kolmogorov probability space. Thus one can choose between: a) completeness of quantum mechanics; b) nonlocality; c) `` death of reality''; d) non-Kolmogorovness. In any event, violation of Bell's inequality has a variety of possible interpretations. Hence, it could not be used to derive the unique conclusion on the relation between quantum and classical models.

研究の動機と目的

• ベルの不等式を非局所性または「現実の死」を示す決定的証拠とする伝統的解釈に挑戦すること。
• ベルの不等式の破れが、複数の測定状況を1つのコルモゴロフ確率空間に実現できないこと、すなわち確率的不適合性を示す可能性があることを強調すること。
• ベルの導出が、古典的確率論では必要とされないが、量子基礎では仮定されている「単一の確率測度の存在」を前提としていることの基礎的根拠の欠如を示すこと。
• 実験的破れの代替解釈、例えば文脈性、検出器の非効率性、フェアサンプリング、負の確率、光子仮説の拒否を検討すること。
• ベルの不等式が、量子モデルと古典モデルを明確に区別できないことを主張し、その破れと整合する複数の解釈が論理的に整合的であることを示すこと。

提案手法

• コルモゴロフ確率空間の測度論的枠組みにおいてベルの不等式を分析し、単一の基礎となる確率測度の役割を強調する。
• 三つの確率変数のための共同確率空間の非存在を示すために、ウィグナーの不等式を数学的道具として適用する。
• 隠れた変数空間 Λ におけるルベーグ積分を用いたベルの不等式の証明を用い、核心的な仮定がすべての状況に対して単一の確率測度 P の存在であることを示す。
• ファインマンの二重スリット実験とベルの設定を比較し、両者とも異なる実験的状況からのデータを1つの確率空間に統合しようとする試みであることを示す。
• ウィグナー、コルモゴロフらの確率的適合性に関する歴史的発展をレビューし、ベル型不等式が量子基礎以前に存在し、古典的確率論に根ざしていることを示す。
• 単一の確率空間の仮定が成立しない場合の代替枠組み、例えば負の確率、文脈性、非コルモゴロフ的確率モデルを検討し、それらが妥当な解釈として成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルの不等式の破れを、非局所性や実在性の失敗の証拠ではなく、確率的不適合性の兆候として解釈できるか？
• RQ2 ベルの導出の中心的役割を果たす単一のコルモゴロフ確率空間の仮定は、古典的確率論では正当化されていないが、なぜ量子基礎では強制されるのか？
• RQ3 異なる測定状況からの確率変数を1つの確率空間に同時に実現できない場合、量子力学にどのような意味が生じるのか？
• RQ4 検出器の非効率性、フェアサンプリング、負の確率は、本論文で提唱された確率的不適合性枠組みとどのように関係するか？
• RQ5 EPR-ブーム実験は、単一の確率空間を仮定せずに一貫して記述可能か？そのような枠組みからどのような代替解釈が生じるか？

主な発見

• ベルの不等式の破れは、確率的不適合性（複数の測定状況を1つのコルモゴロフ確率空間に同時に実現できないこと）の十分条件である。
• ベルの導出で用いられる単一の確率測度 P の仮定は、古典的確率論では標準的な要件ではなく、各実験的状況が通常は独自の確率空間を持つ。
• ウィグナーの不等式は、ある三つの結果の同時確率の和が、第三の同時確率以上でない限り、単一の確率空間が存在しないことを数学的に証明する。
• 三つの ±1 に値をとる確率変数を1つの確率空間に同時に実現できないことは、ベル型不等式の破れと同等であり、このような破れが本質的に確率論的性質を示していることを示している。
• 単一の確率空間の仮定が否定された場合、文脈性、負の確率、非コルモゴロフ的モデルといった量子現象の代替解釈が有効になる。
• EPR-ブーム実験のデータは、一意にコルモゴロフモデルに埋め込むことはできず、これは量子力学が完全である可能性を示唆し、非局所性や実在性の崩壊が唯一の結論ではないことを示している。