[論文レビュー] Bergman kernels and the pseudoeffectivity of relative canonical bundles

Bo Berndtsson, Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、代数幾何におけるねじれた相対 canonical バンドルの擬効果性の基準を、Bergman 核計量と擬効果的曲率を持つ特異計量を用いて確立する。適切な正性および非消滅コホノロジー条件の下で、相対 Bergman 核計量が特異ファイバーにわたって擬効果的曲率を持つように拡張されることを証明し、Viehweg と Campana の擬効果的性に関する結果の解析的一般化を提供するとともに、既に Hacon–McKernan や Takayama によって確立済みの、多キャンディナル形式の拡張定理に対する直接的証明を提示する。

ABSTRACT

The main result of the present article is a (practically optimal) criterium for the pseudoeffectivity of the twisted relative canonical bundles of surjective projective maps. Our theorem has several applications in algebraic geometry; to start with, we obtain the natural analytic generalization of some semipositivity results due to E. Viehweg and F. Campana. As a byproduct, we give a simple and direct proof of a recent result due to C. Hacon--J. McKernan, S. Takayama and H. Tsuji concerning the extension of twisted pluricanonical forms. More applications will be offered in the sequel of this article.

研究の動機と目的

• 射影ファイブレーションにおけるねじれた相対 canonical バンドルの擬効果性の実用的基準を確立すること。
• L^2 計量と乗数イデアルを用いた解析的手法を用いて、Viehweg と Campana の擬効果的性に関する結果を一般化すること。
• 既に Hacon–McKernan や Takayama によって確立済みの、ねじれた多キャンディナル形式の拡張定理に対して、直接的証明を提供すること。
• 複素多様体の全射射影的写像の特異ファイバーにわたって Bergman 核計量を、多重ポテンシャル論および Ohsawa–Takegoshi 評価を用いて拡張すること。

提案手法

• $(n,0)$-形式の空間に、$K_{X_y} + L$ に乗数イデアル $\mathcal{I}(h)$ をねじったものに対する、$\exp(-\phi)$ による積分を用いたファイバーごとの $L^2$-計量を構成する。
• 正則部分集合 $X^0 \subset X$ 上で、$H^0(X_y, (K_{X_y} + L) \otimes \mathcal{I}(h))$ の正規直交基底を用いて、$K_{X/Y} + L$ 上の相対 Bergman 核計量を定義する。
• Ohsawa–Takegoshi の拡張定理を適用して、特異ファイバー付近での Bergman 核計量の局所的重みを制御し、一様有界性を保証する。
• 古典的多重ポテンシャル論を用いて、$X \setminus X^0$ にわたって Bergman 核計量を、擬効果的曲率を持つ plurisubharmonic 関数として拡張する。
• インダクションと、非常にラインバンドルおよび特異計量を用いた計量構成を用いて、接続バンドルの文脈におけるセクションの拡張を証明する。
• 曲率の正性および可積分性条件を適用して、Ohsawa–Takegoshi 拡張定理の仮定が帰納的段階で満たされることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L$ が擬効果的曲率を持つ特異計量を備えるとき、$K_{X/Y} + L$ が何らかの正則ファイバーで $H^0(X_y, (K_{X_y} + L) \otimes \mathcal{I}(h)) \neq 0$ を満たすならば、相対 canonical バンドル $K_{X/Y} + L$ はいつ擬効果的になるか。
• RQ2 全射射影的写像の特異ファイバーにわたって、$K_{X/Y} + L$ 上の Bergman 核計量は、擬効果的曲率を持つように拡張可能か。
• RQ3 正則ファイバーで $H^0(X_y, (K_{X_y} + L) \otimes \mathcal{I}(h)) \neq 0$ が成り立つとき、$K_{X/Y} + L$ の擬効果性は、そのファイバー上のコホノロジーの非消滅性とどのように関係するか。
• RQ4 Ohsawa–Takegoshi 拡張定理は、特異計量の仮定の下で、接続バンドルにおけるグローバルセクションの存在を証明するために、どの程度まで利用可能か。
• RQ5 擬効果性の解析的基準は、代数幾何における既存の擬効果的性定理を再証明または強化するために用いることができるか。

主な発見

• 曲率 $\Theta_h(L) \geq 0$ かつある正則ファイバーで $H^0(X_y, (K_{X_y} + L) \otimes \mathcal{I}(h)) \neq 0$ である限り、$K_{X/Y} + L$ 上の相対 Bergman 核計量は恒等的に $-\infty$ ではなく、擬効果的曲率を持つ。
• 多重ポテンシャル論および Ohsawa–Takegoshi による一様有界性のおかげで、Bergman 核計量は $X \setminus X^0$ に一意に拡張され、$X$ 全体で擬効果的曲率を持つ計量となる。
• この定理は、基底 $Y$ がコンパクトであってもグローバルに拡張できない場合でも、Ohsawa–Takegoshi 拡張定理のグローバルな解析的一般化を提供する。
• ねじれた多キャンディナル形式の拡張に対する直接的証明が与えられ、$L^2$ 方法および曲率推定を用いて Hacon–McKernan と Takayama の結果を回復する。
• 仮定されたコホノロジー的および曲率的条件下で、$K_{X/Y} + L$ の擬効果性は、すべての $m \geq 0$ および $Y$ 上の十分に非常にラインバンドル $A$ に対して、$H^0(X, m(K_{X/Y} + L) + p^*A) \neq 0$ を意味する。
• 本手法により、曲率の正性および乗数イデアルの可積分性条件を用いて、接続バンドル上のセクションの帰納的拡張が可能となる。