[論文レビュー] Curvature semipositivity of relative pluricanonical systems

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Mar 25, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特異点がすべて canonical であるような平坦な射影的ファイバー分岐族に対して、相対多項 canonical 線束 $mK_{X/S}$ 上の Narashimhan-Simha 特異 Hermitian 距離の曲率の半正定性を確立する。曲率カレントが特異ファイバーを越えて閉じた正のカレントとして拡張されることを示し、基底多様体上での直接像層 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ が Nakano 半正定曲率を持つ連続的 Hermitian 距離を備えることを示唆する。

ABSTRACT

We prove semipositivity of the curvature of the Narashimhan-Simha metric on an arbitrary flat projective family of varieties with only canonical singularities. This also implies that the direct image of pluricanonical systems have a natural continuous hermitian strucutre with semipositive curvature curvature current in the sense of Nakano. This is an improvement of the author's preprint ``Refined semipositivity and moduli of canonical models (2005)''.

研究の動機と目的

• canonical 特異点をもつファイバー分岐族における相対多項 canonical バンドル上の Narashimhan-Simha 距離の曲率半正定性を確立すること。
• 滑らかなファイバー分岐族からの半正定性結果を、特に canonical 特異点をもつ特異ファイバーを含むファイバー分岐族へ拡張すること。
• 直接像層 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ が基底上 Nakano 半正定曲率を持つ連続的 Hermitian 構造を備えることを示すこと。
• 相対 canonical バンドルに半正定曲率を持つ標準的な解析的 Zariski 分解 (AZD) を構成すること。
• 曲率の正定性が縦方向（ファイバー内）にとどまらず、横方向（基底に沿って）にも成り立つことを示すこと

提案手法

• ホロモーラルセクションの $L^2$-ノルムを用いて、滑らかな部分 $X^\circ = f^{-1}(S^\circ)$ 上で $mK_{X/S}$ 上の Narashimhan-Simha 距離 $h_m$ を構成する。
• 特異 Hermitian 距離の理論と Lelong 数を用いて、曲率カレント $-dd^c \log h_m$ を分析する。
• 解析的 Zariski 分解 (AZD) の構成を用いて、$K_{X/S}$ 上に半正定曲率を持つ標準的な特異 Hermitian 距離 $h$ を定義する。
• 滑らかな距離による近似を用いた極限過程と、[B-T] の補題 5.6 を適用して、曲率カレントを特異ファイバーを越えて拡張する。
• L^2-距離の変動に関する Maitani-Yamaguchi および Berndtsson の定理を適用し、基底 $S^\circ$ 上での曲率の半正定性を証明する。
• セクションを $h^{m-1}$ に対して統合することにより、$f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 上の誘導距離 $h_{F_m}$ を定義し、連続性と半正定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical 特異点をもつファイバー分岐族において、$mK_{X/S}$ 上の Narashimhan-Simha 距離の曲率が縦方向および横方向の両方で半正定であることを示せるか？
• RQ2 Narashimhan-Simha 距離の曲率カレントは、特異ファイバーを越えて閉じた正のカレントとして拡張可能か？
• RQ3 相対 canonical バンドルに半正定曲率を持つ標準的な解析的 Zariski 分解 (AZD) を構成できるか？
• RQ4 直接像層 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ は基底上で Nakano 半正定曲率を持つ連続的 Hermitian 距離を備えるか？
• RQ5 半正定性の結果は、特異ファイバーを含む文脈において、Kawamata の代数的半正定性定理をどのように精緻化するか？

主な発見

• Narashimhan-Simha 距離 $h_m$ の曲率カレント $-dd^c \log h_m$ は $X^\circ$ 上で半正定であり、$X \setminus X^\circ$ を越えて閉じた正のカレントとして拡張可能である。
• $h_m$ は全ファイバー $X$ 上で特異 Hermitian 距離に拡張され、カレントの意味で半正定曲率を持つ。
• $S^\circ$ 上で $K_{X/S}$ 上に曲率カレント $\Theta_h$ が半正定であるような標準的 AZD $h$ が存在する。
• 直接像層 $F_m = f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ は、$h_{F_m}(\sigma,\sigma')_s = (\sqrt{-1})^{n^2} \int_{X_s} \sigma \wedge \bar\sigma' \cdot h^{m-1}$ により定義される連続的 Hermitian 距離 $h_{F_m}$ を備え、$S^\circ$ 上で Nakano 半正定曲率を持つ。
• $h^{m-1}$ のファイバー上での有界性により、$h_{F_m}$ は $S^\circ$ 上で連続であり、基礎となる距離 $h$ の半正定性から曲率の半正定性が従う。
• $h_m^{1/m}$ を用いた代替的構成により、代数的特異点を持つ距離が得られ、今後の応用においてより良い正則性が期待される。