[論文レビュー] Bergman metrics and geodesics in the space of Kähler metrics on toric varieties

Jian Song, Steve Zelditch|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、トーリック多様体上のケーラー計量空間において、Bergman geodesics が Monge-Ampère geodesics に $C^2$-正則性と収束を示す。Bergman-Szegö 核の漸近解析と微局所的手法を用いて、有限次元の Bergman 距離空間 $\tau_k$ の測地線が、無限次元の $\tau$-測地線に $C^2(A \times X)$ 位相で収束することを証明し、トーリック多様体におけるケーラー幾何学における主要な近似問題を解決する。

ABSTRACT

Geodesics on the infinite dimensional symmetric space $\hcal$ of Kähler metrics in a fixed Kähler class on a projective Kähler manifold X are solutions of a homogeneous complex Monge-Ampère equation in $X imes A$, where $A \subset \C$ is an annulus. They are analogues of 1PS (one-parameter subgroups) on symmetric spaces $G_{\C}/G$. Donaldson, Arezzo-Tian and Phong-Sturm raised the question whether Monge-Ampère geodesics can be approximated by 1PS geodesics in the symmetric spaces of Bergman metrics. Phong-Sturm proved weak C^0 convergence of Bergman to Monge-Ampère geodesics on a general \kahler manifold. In this article we prove convergence in $C^2(A imes X)$ in the case of toric Kähler metrics, extending our earlier result on $\CP^1$.

研究の動機と目的

• 無限次元のケーラー計量空間 $\mathcal{H}$ における測地線の端点問題を、$\mathcal{B}_k$ 内の有限次元測地線による近似によって解決すること。
• トーリック設定において、Bergman 測地線が Monge-Ampère 測地線に $C^2(A \times X)$ 収束することを確立すること。これにより、以前の $C^0$-収束結果を拡張する。
• トーリック多様体上における Bergman-Szegö 核およびその導関数の漸近的推定式を構築し、正則性と収束解析を可能にする。
• 無限次元空間 $\mathcal{H}$ 上でのグローバル幾何的対象（測地線や調和写像など）を、有限次元対称空間 $\mathcal{B}_k$ を用いた近似のための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• Bargmann-Fock および Fubini-Study モデルにおけるトーリック Bergman-Szegö 核 $\mathcal{P}_{h^k}$ と $\mathcal{Q}_{h^k}$ の漸近展開を用いて、計量近似を分析する。
• 微局所解析と複素停留位相法を適用し、内部領域および境界領域における $\mathcal{P}_{h^k}(\alpha)$ 及びその導関数の共同漸近挙動を導出する。
• 局所化技術と位相関数解析を用いて、モーメント多面体 $P$ 内の格子点への和における誤差項を制御する。
• $\mathcal{B}_k$ と $\mathcal{H}$ 間の測地線方程式における差を推定するため、$\mathcal{P}_{h^k}$ および $\mathcal{R}_k$ の導関数に対する一様な境界を導出する。
• 恒等式 $\frac{\mathcal{T}'}{\mathcal{T}} = -\frac{\mathcal{P}'}{\mathcal{P}} + k(u_1 - u_0)(\alpha/k)$ を用いて、計量の時間微分を関連づけ、$C^2$-ノルムを制御する。
• 補題 1.3 および補題 4.5(3) を適用して、$k^{-1/3 + \delta}$ および $k^{-1/2 + \delta}$ のオーダーの誤差項を評価し、収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された端点を持つ $\mathcal{H}$-測地線は、トーリック多様体上での $C^2$ 位相において、$\mathcal{B}_k$-測地線によって近似可能か？
• RQ2 ケーラー計量空間内での Bergman 測地線が Monge-Ampère 測地線に収束する速度と性質は何か？
• RQ3 モーメント多面体の境界付近における Bergman-Szegö 核の導関数の振る舞いはどのように変化し、測地線近似にどのような影響を与えるか？
• RQ4 有限次元空間 $\mathcal{B}_k$ のリーマン幾何学的構造と測地線構造は、無限次元空間 $\mathcal{H}$ をどの程度正確に近似できるか？

主な発見

• 本稿は、トーリックケーラー多様体上での Bergman 測地線が Monge-Ampère 測地線に $C^2(A \times X)$ 収束することを確立し、以前の $C^0$-収束結果を拡張した。
• 測地線近似における誤差項は $O(k^{-1/3 + \delta})$ および $O(k^{-1/2 + \delta})$ で有界であり、十分に小さい $\delta > 0$ に対して減少する。
• 核の漸近挙動による一次項のキャンセルの後、測地線の二階時間微分は誤差 $O(k^{-1/3 + \delta})$ で近似可能である。
• 内部領域および境界領域（コーナー領域および混合境界領域を含む）における $\mathcal{P}_{h^k}(\alpha)$ の漸近展開が導出され、導関数の均一な制御がなされた。
• $\frac{\mathcal{T}'}{\mathcal{T}}$ が $O(1)$ の境界を持つことが示され、測地線方程式における時間微分項の制御が可能になった。
• 本手法により、$\mathcal{B}_k$-測地線と $\mathcal{H}$-測地線の差の $C^2$-ノルムが $k \to \infty$ の際に減少することを確認し、近似の妥当性が裏付けられた。