[論文レビュー] Berry Phases and Quantum Phase Transitions

Alioscia Hamma|ArXiv.org|Feb 10, 2006

Topological Materials and Phenomena参考文献 3被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、多体系におけるベリー位相と量子相転移（QPT）を結びつける位相的基準を確立する。パrameter空間内の縮小するループの周囲のベリー位相の系列がゼロに収束しない場合、その極限点は量子臨界点である。主な結果は、非可縮性のベリー位相—特に熱力学的極限において—がQPTの存在を示すものであり、特に異方性XYスピン鎖において、基底状態の非自明なベリー位相πによってXX臨界領域が検出されたことで明示的に示された。

ABSTRACT

We study the connection between Berry phases and quantum phase transitions of generic quantum many-body systems. Consider sequences of Berry phases associated to sequences of loops in the parameter space whose limit is a point. If the sequence of Berry phases does not converge to zero, then the limit point is a quantum critical point. Quantum critical points are associated to failures of adiabaticity. We discuss the remarkable example of the anisotropic XY spin chain in a transverse magnetic field and detect the XX region of criticality.

研究の動機と目的

• 多体系におけるベリー位相と量子相転移の間の一般的な位相的関係を確立すること。
• 量子臨界点が孤立しているのではなく多様体を形成するという挑戦に応えること。
• 非可縮性のベリー位相の系列が、量子臨界点の存在を示すことを証明すること。
• 異方性XYスピン鎖を、XX臨界領域がベリー位相の非自明性によって検出可能な具体的な例として分析すること。
• 臨界点における断熱性の破綻が、熱力学的極限における非ゼロのベリー位相と関連する発散するベリー曲率によって示されることを示すこと。

提案手法

• 候補臨界点λ₀に向かって収束するパラメータ空間内の閉ループの系列を定義する。
• 系が各ループを断熱的に巡る間に基底状態が獲得するベリー位相を計算する。
• ベリー位相がゼロに収束しない場合、λ₀は量子臨界点であるとし、非可縮性の系列を定義する。
• 異方性XYスピン鎖（ハミルトニアンパラメータλ：異方性、γ：横磁場）に形式的枠組みを適用し、フェルミオンに写像するためのジョルダン＝ウィグナー変換を用いる。
• 運動量モードkごとの単一スピンのベリー位相の和として、基底状態波動関数およびベリー位相を計算する。φは断熱的パラメータである。
• γ → 0およびM → ∞（熱力学的極限）の極限を分析し、cosθₖ₀ = 0を満たす1つのモードk₀が総ベリー位相にπを寄与することを示し、非自明な位相をもたらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可縮性のベリー位相の系列は、多体系における量子臨界点の位相的指標として機能するか？
• RQ2 異方性XYスピン鎖の臨界点近くにおける基底状態のベリー位相はどのように振る舞うか？
• RQ3 熱力学的極限が、量子臨界性における非自明なベリー位相の出現に果たす役割は何か？
• RQ4 臨界点における断熱性の破綻は、発散するベリー曲率および非ゼロのベリー位相とどのように関連するか？
• RQ5 基底状態と第一励起状態の相対的ベリー位相は臨界領域を検出可能か？また、基底状態位相と比べてどのように異なるか？

主な発見

• ループが点λ₀に収束するにつれてベリー位相の系列がゼロに収束しない場合、λ₀は量子臨界点である。
• 異方性XYスピン鎖では、φ ∈ [0, π] の周囲の基底状態のベリー位相はφ(M) = ∑ₖ φₖで与えられ、ここでφₖ = π(1 − cosθₖ)である。
• 有限Mおよびγ > 0では、lim_{γ→0} φₖ = 0または2πであるため、総位相は自明（0または2πM）であるが、熱力学的極限では、臨界モードk₀に対してφₖ₀ → πとなる。
• M → ∞およびγ → 0の極限において、モード1つあたりの平均ベリー位相はlim_{γ→0} lim_{M→∞} (1/M)φ(M) ≠ 0を満たし、非可縮性が確認される。
• λ = 0（XX点）における臨界点は、1つの臨界モードk₀からの非自明なベリー位相πによって検出され、断熱性の破綻を示唆する。
• カルロとパチョスの結果と一致しており、基底状態と第一励起状態の相対的ベリー位相は−πに収束し、臨界領域の位相的性質を確認する。