[論文レビュー] Best approximation on semi-algebraic sets and k-border rank approximation of symmetric tensors

Shmuel Friedland, Małgorzata Stawiska|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、対称テンソルの最良 $k$-ボーダーランク近似が一意的かつ対称的であるための条件を確立する。半代数幾何学と微分位相論を用いて、$k \leq N(m,d)$ のとき、対称テンソルの開半代数的集合が、一意的かつ対称的な最良 $k$-ボーダーランク近似を持つことを証明し、バナッハの対称ランク1近似に関する定理をより高いボーダーランクへ拡張する。

ABSTRACT

In the first part of this paper we study a best approximation of a vector in Euclidean space R^n with respect to a closed semi-algebraic set C and a given semi-algebraic norm. Assuming that the given norm and its dual norm are differentiable we show that a best approximation is unique outside a hypersurface. We then study the case where C is an irreducible variety and the approximation is with respect to the Euclidean norm. We show that for a general point in x in R^n the number of critical points of the distance function of x to C is bounded above by a degree of a related dominant map. If C induces a smooth projective variety in V_P in P(C^n) then this degree is the top Chern number of a corresponding vector bundle on V_P. We then study the problem when a best k(> 1)-border rank approximation of a symmetric tensor is symmetric. We show that under certain dimensional conditions there exists an open semi-algebraic set of symmetric tensors for which a best k-border rank is unique and symmetric.

研究の動機と目的

• 対称テンソルの最良 $k$-ボーダーランク近似が対称的かつ一意的である条件を特定すること。
• バナッハの対称ランク1近似に関する定理を $k \geq 2$ のより高いボーダーランクへ拡張すること。
• 最良 $k$-ボーダーランク近似が一意的かつ対称的である対称テンソルの集合を同定すること。
• 最良 $k$-ボーダーランク近似が対称的であるような、対称テンソル空間内の開半代数的集合の存在を確立すること。
• トポロジカル不変量（特に最高チャーン数）を用いて、近似問題における臨界点の数を境界づけること。

提案手法

• 微分可能なノルムとその双対ノルムの下で、閉じた半代数的集合 $C \subset \mathbb{R}^n$ への最良近似を分析する。
• 微分位相論を用いて、ノルムおよびその双対が微分可能であるとき、特異超曲面の外では最良近似が一意的であることを示す。
• 代数幾何学を用いて、滑らかな射影的代数的多様体 $V_{\mathbb{P}} \subset \mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$ への距離関数の臨界点の数を、関連するベクトル束の最高チャーン数によって境界づける。
• 臨界点に関する結果を、対称テンソル空間 $\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ および $k$-ボーダーランクのテンソルの多様体 $\mathcal{R}(k,m^{\times d})$ に適用する。
• クリスカルの定理を用いて、$\mathcal{R}(k,m^{\times d})$ 内の一般の対称テンソルがランク $k$ で滑らかであることを検証する。
• 半代数的集合および準代数的集合の理論を用いて、最良 $k$-ボーダーランク近似が対称的かつ一意的であるような開集合の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称テンソルの最良 $k$-ボーダーランク近似が対称的であるための条件は何か？
• RQ2 一般の対称テンソルに対して $k \geq 2$ のとき、最良 $k$-ボーダーランク近似は一意的か？
• RQ3 バナッハの対称ランク1近似に関する定理をより高いボーダーランクへ拡張できるか？
• RQ4 半代数的集合への最良近似問題における臨界点の数のトポロジカルな境界は何か？
• RQ5 最良 $k$-ボーダーランク近似が一意的でない対称テンソルの集合は、内部を持たないか？

主な発見

• $k \leq N(m,d)$ のとき、$\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ 内に、最良 $k$-ボーダーランク近似が一意的かつ対称的であるような開半代数的集合が存在する。
• 最良ランク1近似が一意でない対称テンソルの集合は、超曲面に含まれるため、内部を持たない。
• $m \geq 2$, $d \geq 3$, かつ $k \leq N(m,d)$ のとき、一般の対称テンソルの最良 $k$-ボーダーランク近似は対称的かつ一意的である。
• 一般の点から滑らかな射影的多様体 $V_{\mathbb{P}}$ への距離関数の臨界点の数は、関連するベクトル束の最高チャーン数によって境界づけられる。
• 関数 $\mathrm{dist}(\cdot, \mathcal{R}(1,m^{\times d}))$ を $\mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ に制限したとき、その微分不可能な集合の次元は $\dim \mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ より小さいため、非一意性は小さな集合でのみ発生する。
• 最良ランク1近似が一意でない対称テンソルの集合 $W$ は開集合を含まず、ある超曲面 $H$ に含まれる。