[論文レビュー] Best finite constrained approximations of one-dimensional probabilities

Chuang Xu, Arno Berger|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$L^r$-Kantorovich距離に基づく1次元確率測度の最良有限制約近似に関して、原子の位置または重みが事前に指定された場合の必要十分最適性条件を確立する。単調関数の段階関数による近似に基づく新規で素朴なアプローチを用い、等重みの最良一様近似を特徴付け、収束速度を明確に導出する。特に対数的自己相似性を持たない特異測度（例：逆カントール測度）に対しても同様の結果が得られる。

ABSTRACT

This paper studies best finitely supported approximations of one-dimensional probability measures with respect to the $L^r$-Kantorovich (or transport) distance, where either the locations or the weights of the approximations' atoms are prescribed. Necessary and sufficient optimality conditions are established, and the rate of convergence (as the number of atoms goes to infinity) is discussed. In view of emerging mathematical and statistical applications, special attention is given to the case of best uniform approximations (i.e., all atoms having equal weight). The approach developed in this paper is elementary; it is based on best approximations of (monotone) $L^r$-functions by step functions, and thus different from, yet naturally complementary to, the classical Voronoi partition approach.

研究の動機と目的

• 原子の位置または重みが制約される場合の1次元確率測度に対する最良有限台付近似の体系的理論の構築。
• 標的測度が絶対連続性や自己相似性を仮定しない場合の、このような近似の必要十分最適性条件の提供。
• 原子数を増加させる際の最良一様近似（等重み）における$L^r$-Kantorovich距離の収束速度の分析。
• 古典的なボロノイ分割技術を避ける双対性に基づく手法の確立、特に重みが固定されている場合に特に有効。
• 純粋に原子的測度に対しても、モーメント条件のもとで収束速度が任意に遅くなる可能性を示す。

提案手法

• 原子数が$n$以下の離散測度$\nu$の下で$L^r$-Kantorovich距離$d_r(\nu, \mu)$を最小化する近似問題に定式化する。
• 単調$L^r$-関数の性質を用いて、原子の位置と重みの間の双対性から最適性条件を導出する。
• 制約付き近似問題を単調関数の段階関数による最良近似に還元する。
• 単調関数および積分の初等的解析を用いて最小化子を特徴付け、特に等重みの場合を扱う。
• 具体的な例（例：逆カントール測度）を構成し、古典的な自己相似設定を超えた収束速度を分析する。
• 微分積分学的構成を用いて、任意の零列$a_n$に対して$d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) \geq a_n$を満たす測度$\mu$を構成することで、収束速度が任意に遅くなる可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原子の位置または重みが固定された場合に、有限台付測度が与えられた1次元確率測度の最良$L^r$-Kantorovich近似であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 原子数$n \to \infty$のとき、最良一様近似（等重み）における$L^r$-Kantorovich距離の収束速度はどのように振る舞うか？
• RQ3 有限$r$次モーメント条件のもとでも、最良近似の収束速度が任意に遅くなることはあり得るか？
• RQ4 単調関数近似に基づく本手法は、特に重みが制約される場合に、古典的なボロノイ分割技術と比べてどのように異なるか？
• RQ5 逆カントール測度のような特異測度について、$d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu)$の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の$r \geq 1$および任意の零列$a_n \to 0$に対して、$d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) \geq a_n$をすべての$n$で満たす確率測度$\mu \in \mathcal{P}_r$が存在する。これは収束が任意に遅くなる可能性を示している。
• 逆カントール測度に対しては、漸近的収束速度が$\liminf_{n\to\infty} n^{\beta_r} d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) > 0$および$\limsup_{n\to\infty} n^{\beta_r} d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) < \infty$を満たし、$\beta_r = (1 - \frac{1}{r}) + \frac{1}{r} \frac{\log 3}{\log 2}$である。これにより$D_r(\mu) = \beta_r^{-1} \in [\frac{\log 2}{\log 3}, 1)$が得られる。
• 最良一様近似$\delta_\bullet^{\mathbf{u}_n}$は、位置と重みの間の双対性から導かれる最適性条件によって特徴付けられ、一般に制約なし最小化子$\delta_\bullet^{\bullet,n}$とは異なる。
• 本手法はボロノイ分割を回避し、単調$L^r$-関数の段階関数による近似を用いることで、制約付き状況においてより直接的で素朴なアプローチを提供する。
• 非特異測度に対しては、$n d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu)$が正の極限に収束するという古典的結果は、弱いモーメント条件のもとでも成立するが、特異的または原子的測度では収束が遅くなる可能性がある。
• 本稿では、逆カントール測度の漸近的収束速度$D_r(\mu)$が$r$に依存することを示しており、自己相似ケースとは異なり、非自己相似設定ではより複雑な依存関係を示す。