[論文レビュー] BFV-complex and higher homotopy structures

Florian Schaetz|ArXiv.org|Nov 29, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ポisson多様体内のコイソトロピック部分多様体に関連するBFV複体と強ホモトピーLieアレーブロイドの間で、$L_{\infty}$ quasi-isomorphismを確立し、両者が同じ形式的変形問題を制御することを示している。特に、BFV複体が非形式的変形障害を捉えているのに対し、強ホモトピーLieアレーブロイドはそれらを捉えていないこと——つまり、グラフとして実現されるコイソトロピック部分多様体と、BFV複体の正規化されたMaurer-Cartan要素との間の一対一対応が成り立つことを示している。

ABSTRACT

We present a connection between the BFV-complex (abbreviation for Batalin-Fradkin-Vilkovisky complex) and the so-called strong homotopy Lie algebroid associated to a coisotropic submanifold of a Poisson manifold. We prove that the latter structure can be derived from the BFV-complex by means of homotopy transfer along contractions. Consequently the BFV-complex and the strong homotopy Lie algebroid structure are $L_{\infty}$ quasi-isomorphic and control the same formal deformation problem. However there is a gap between the non-formal information encoded in the BFV-complex and in the strong homotopy Lie algebroid respectively. We prove that there is a one-to-one correspondence between coisotropic submanifolds given by graphs of sections and equivalence classes of normalized Maurer-Cartan elemens of the BFV-complex. This does not hold if one uses the strong homotopy Lie algebroid instead.

研究の動機と目的

• コイソトロピック部分多様体のポisson幾何学的文脈におけるBFV複体と強ホモトピーLieアレーブロイドの間の代数的関係を明確化すること。
• 強ホモトピーLieアレーブロイドが捉えられない非形式的変形障害を、BFV複体が記述できることを示すこと。
• グラフとして実現されるコイソトロピック部分多様体と、BFV複体の正規化されたMaurer-Cartan要素との間の一対一対応を確立すること。
• 収縮データに沿ったホモトピー転送により、強ホモトピーLieアレーブロイドがBFV複体と$L_{\infty}$ quasi-isomorphicであることを示すこと。

提案手法

• ghost/ghost-運動量バンドルを用いてBFV複体をグローバルに構成し、ポアンカーブイベクトル場を導来括弧構造へと上げる。
• 収縮データに沿ってホモトピー転送定理を適用し、BFV複体から強ホモトピーLieアレーブロイド構造を導出する。
• 導来括弧形式的枠組みを用いてBFV括弧を定義し、微分および次数付きLie代数構造と整合性を保証する。
• $L_{\infty}$代数技術を用い、微分付きLie代数構造の転送と、ホモトピー転送公式におけるマーク付き木の使用を行う。
• 主要な技術的ステップとして、ラベル付き木の葉の数に関する帰納法を用いて、誘導された構造写像が$L_{\infty}$関係を満たすことを証明する。
• ゲージ作用の明示的計算を通じて、コイソトロピックセクションと正規化されたMC要素との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コイソトロピック部分多様体に関して、BFV複体と強ホモトピーLieアレーブロイドの間に明確な代数的同値性が存在するか？
• RQ2 強ホモトピーLieアレーブロイドは、コイソトロピック部分多様体の非形式的変形障害を捉えることができるか？
• RQ3 グラフとして実現されるコイソトロピック部分多様体と、BFV複体の正規化されたMaurer-Cartan要素との間に一対一対応が存在するか？
• RQ4 BFV複体は、変形の幾何的障害を強ホモトピーLieアレーブロイドと比較して、どのように記述しているか？

主な発見

• BFV複体と強ホモトピーLieアレーブロイドは$L_{\infty}$ quasi-isomorphicであり、両者が同じ形式的変形問題を制御することを意味する。
• BFV複体は、定理6で示されるように、強ホモトピーLieアレーブロイドが捉えられない非形式的変形障害を記述している。
• グラフとして与えられるコイソトロピック部分多様体と、BFV複体の正規化されたMaurer-Cartan要素の同値類との間に一対一対応が存在する。
• 強ホモトピーLieアレーブロイドはこのような対応を支持せず、非形式的幾何を記述する能力に根本的な欠落があることを示している。
• 5.3節の例は、[Z]で得られた既知のコイソトロピック部分多様体の同定基準がBFV複体によって正確に再現されることを確認しており、その幾何的整合性を裏付けている。
• ホモトピー転送手順により、BFV複体から強ホモトピーLieアレーブロイド構造が正しく回復され、両者の構造的同値性（ホモトピーの意味で）が確認された。