[論文レビュー] Variations on Homological Reduction

Hans-Christian Herbig|ArXiv.org|Aug 25, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 64被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、特異な運動量写像をもつハミルトニアン系、特にその零点として現れる特異的等変運動量写像が生成する消滅イデアルをなす完全交差となる系に対して、古典的BFV（バタリン＝フラディン＝ヴィルコビッツ）還元枠組みを一般化する。ホモロジー代数的手法—特に射影的コシュール＝タート解体とバーストーン＝シュバルツの分割および拡張定理—を用いて、グレーディング付き超可換代数にルーズタン＝ポアソン括弧とBRST荷重を構成し、連続的かつ収縮的ホモトピーの存在を証明するとともに、オルビフォールドでないシンプレクティック層状空間に対する変形量子化の構成を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the BFV-reduction of first class constraints in classsical Hamiltonian mechanics and deformation quantization. As a result, we obtain continuous star products for certain singular reduced symplectic quotients. We relate the notion of "irreducibility" of a constraint to the notion of complete intersection used in commutative algebra. We generalize the classical BFV construction to the case of projective Tate generators using a super-Poisson bracket discovered by M. Rothstein. We also discuss the problem of infinite reducibility. Several examples are elaborated on.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン力学および変形量子化における、正則でない運動量写像へのBFV還元枠組みの拡張を図ること。
• 運動量写像が完全交差でない場合に、既知の量子還元法が存在しないという問題に取り組むこと。
• バーストーン＝シュバルツの定理を用いて、コシュール＝タート解体に対する連続的かつ収縮的ホモトピーを構成すること。
• 射影的タート生成子（ベクトル束）のケースにおいて、ルーズタン＝ポアソン括弧およびBRST荷重の存在を証明すること。
• オルビフォールドでないシンプレクティック層状空間であっても、連続的変形量子化が可能であることを示すこと。

提案手法

• バーストーン＝シュバルツの分割および拡張定理を適用し、コシュール＝タート解体に対する連続的かつ収縮的ホモトピーを構成する。
• 付録A.1の摂動補題を用いて、BFV構成のホモロジー代数を体系的かつ簡略化する。
• 制約超曲面の消滅イデアルの射影的コシュール＝タート解体から、グレーディング付き超可換代数を構成する。
• 解体代数上にルーズタン＝ポアソン括弧を導入し、シンプレクティック超多様体からの構成を一般化する。
• 線形シンプレクティック群作用のケースにおいて、BRST荷重を定義する。ただし、その成分が制約の消滅イデアルを生成するものとする。
• ハルピリンの剛性定理を適用し、非完全交差的制約では無限個のタート生成子を必要とすることを示し、射影的解体の正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則でない特異的運動量写像に対しても、BFV還元手順を一般化できるか？
• RQ2 特異的制約超曲面のコシュール＝タート解体に対して、連続的かつ収縮的ホモトピーが存在する条件は何か？
• RQ3 制約が完全交差ではない場合でも、解体代数上にルーズタン＝ポアソン括弧が存在するか？
• RQ4 自由加群ではなく、射影的タート生成子（すなわちベクトル束）のケースにおいても、BRST荷重を構成できるか？
• RQ5 オルビフォールドでないシンプレクティック層状空間に対しても、連続的変形量子化が可能か？

主な発見

• 特異的運動量写像によって定義される制約超曲面のコシュール＝タート解体に対して、連続的かつ収縮的ホモトピーが構成可能である。ただし、その成分が消滅イデアルを生成し、完全交差をなすものとする。
• 無限生成の場合を含め、解体代数上にルーズタン＝ポアソン括弧の存在が証明され、シンプレクティック超多様体からの結果を一般化する。
• 線形シンプレクティック群作用のケースにおいて、その運動量写像の成分が制約の消滅イデアルを生成する場合、BRST荷重が明示的に構成可能である。
• オルビフォールドでないシンプレクティック層状空間に対しても、連続的変形量子化が可能であることが確立され、新たな例のクラスが得られる。
• ハルピリンの剛性定理より、制約が局所的完全交差でない場合、解体には無限個のタート生成子が必要となる。これにより、射影的解体の使用が正当化される。
• 古典的BFV構成は、フレシェ空間の加法的圏におけるホモトピー同値を用いて、射影的タート生成子のケースへ一般化される。