[論文レビュー] (Bi)modules, morphismes et réduction des star-produits: le cas symplectique, feuilletages et obstructions

Martin Bordemann|ArXiv.org|Mar 20, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 66被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、写像に沿った多微分作用素を用いて、変形量子化の微分幾何的枠組みを確立し、アティヤ＝モリノ類が消えるとき、シンプレクティックスター積がコイソトロピック部分多様体に表現可能であることを証明する。de Rhamコホモロジーを用いて双加群構造を分類し、この位相的不変量に関連するポincare写像の量子化の障害を同定する。

ABSTRACT

(Bi)modules, morphisms and reduction of star-products are studied in a framework of multidifferential operators along maps: morphisms deform Poisson maps and representations on functions spaces deform coisotropic maps. If a star-product is representable on a coisotropic submanifold, is is equivalent to a star-product for which the vanishing ideal is a left ideal. If the reduced phase space exists, a star-product with suitable Deligne class is representable and the reduced algebra is the commutant of this module (hence a bimodule). Obstructions to representability to third order are related to the Atiyah-Molino class of the foliation of the coisotropic submanifold, and the same kind of obstructions occurs for the quantisation of a Poisson map between symplectic manifolds. For vanishing Atiyah-Molino class, the representation and morphism problem is solvable.

研究の動機と目的

• 写像に沿った多微分作用素を用いて、変形量子化における（双）加群、準同型、および還元の幾何的枠組みを構築すること。
• 特にシンプレクティックな設定において、スター積がコイソトロピック部分多様体に表現可能である条件を明確にすること。
• アティヤ＝モリノ類を用いて、スター積の表現可能性およびポincare写像の量子化の障害となる位相的障害を同定すること。
• コイソトロピック部分多様体上の関数空間における双加群構造をde Rhamコホモロジーの観点から分類すること。
• フェドソフの方法を拡張し、シンプレクティック多様体間のポincare写像の量子化における障害を分析すること。

提案手法

• 写像に沿った多微分作用素の形式的取り扱いにより、変形量子化における代数的構造を記述すること。
• コイソトロピックの信条の適用：スター積がコイソトロピック部分多様体に表現可能であるとは、その消滅イデアルが変形代数における左イデアルであることと同値である。
• ポincare写像の量子化における障害を分析するためにフェドソフの方法を応用すること。
• コイソトロピック部分多様体に関連するシンプレクティックファイブレーションのためのアティヤ＝モリノ類の導入と分析。
• コイソトロピック部分多様体の第一de Rhamコホモロジーを用いた双加群構造の分類。
• デリーニクラスとスター積の同値性に関する条件を用いて表現可能性を決定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体上のスター積が、コイソトロピック部分多様体上の微分作用素として表現可能となる条件は何か？
• RQ2 アティヤ＝モリノ類は、コイソトロピック部分多様体へのスター積の表現可能性を妨げる役割を果たすか？
• RQ3 コイソトロピック部分多様体の関数空間における双加群構造は、幾何的不変量としてどのように分類されるか？
• RQ4 シンプレクティック多様体間のポincare写像は、常に変形量子化における代数的準同型に変形可能か？
• RQ5 ポincare写像の量子化における位相的障害は何か？そして、その接写像の核バンドルのシンプレクティック幾何とどのように関係するか？

主な発見

• シンプレクティックスター積がコイソトロピック部分多様体に表現可能であるための必要十分条件は、その部分多様体上のシンプレクティックファイブレーションのアティヤ＝モリノ類が消えることである。
• コイソトロピック部分多様体上の関数空間における双加群構造は、その部分多様体の第一de Rhamコホモロジー群によって分類される。
• スター積の表現可能性の障害は、コイソトロピック部分多様体のシンプレクティックファイブレーションのアティヤ＝モリノ類に起因する。
• シンプレクティック多様体間のポincare写像に対しては、その接写像の核のシンプレクティック直交バンドルのアティヤ＝モリノ類が、量子化の障害を支配する。
• アティヤ＝モリノ類が消えるとき、デリーニクラスが適切な整合性条件を満たしていれば、ポincare写像は量子化可能である。
• 2次元トーラスの余接 bundle および複素射影空間の例は、特にシンプレクティック還元とフェドソフ量子化の文脈で、理論の有効性を示している。