[論文レビュー] Biased random walks on a Galton-Watson tree with leaves

Gérard Ben Arous, Alexander Fribergh+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、葉を持つ上昇的ガルトン＝ワトソン木における偏り付きランダムウォークの、非相対称的（sub-ballistic）な領域における挙動を研究している。ここで、ウォークの速度は木の枝に閉じ込められるため低下する。本稿では、レベル $ n $ に到達するまでの時間 $ \Delta_n $ を $ n^{1/\beta^{\tau}} $ で正規化したとき、その分布がtightであり、特定の部分列に沿って無限に可除な分布に収束することを示している。このとき、ウォークの根からの距離の下位拡張スケーリングを支配する指数 $ \gamma = \frac{\ln \beta_c}{\ln \beta} $ が得られる。

ABSTRACT

We consider a biased random walk $X_n$ on a Galton-Watson tree with leaves in the sub-ballistic regime. We prove that there exists an explicit constant $γ= γ(β) \in (0,1)$, depending on the bias $β$, such that $X_n$ is of order $n^γ$. Denoting $Δ_n$ the hitting time of level $n$, we prove that $Δ_n/n^{1/γ}$ is tight. Moreover we show that $Δ_n/n^{1/γ}$ does not converge in law (at least for large values of $β$). We prove that along the sequences $n_λ(k)=\lfloor λβ^{γk} floor$, $Δ_n/n^{1/γ}$ converges to certain infinitely divisible laws. Key tools for the proof are the classical Harris decomposition for Galton-Watson trees, a new variant of regeneration times and the careful analysis of triangular arrays of i.i.d. heavy-tailed random variables.

研究の動機と目的

• 偏り付きランダムウォークが葉を持つガルトン＝ワトソン木上で示す非相対称的挙動を理解すること。
• 非相対称的領域におけるレベル $ n $ に到達するまでの時間 $ \Delta_n $ の正しいスケーリングを特定すること。
• $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ の分布収束を分析し、それが法則として収束しないが、部分列に沿って収束することを示すこと。
• 制限分布を無限に可除分布として特徴づけ、明示的なLévyスペクトル測度を与えること。
• ウォークの根からの距離 $ |X_n| $ に対するtightnessおよび確率的成長率を確立すること。

提案手法

• 非滅亡条件下でのガルトン＝ワトソン木の構造を分析するために、ハリス分解を用いる。
• トラッピング行動を制御するため、再生時刻の新規な変種を導入してウォークの経路を分解する。
• 部分木内に費やす時間をモデル化するため、i.i.d. の重尾を持つ確率変数の三角配列を分析する。
• 導出率 $ c(x,\overleftarrow{x}) = \beta^{|x|-1} $ を持つ電気ネットワーク理論を適用し、偏り付きランダムウォークを可逆マルコフ連鎖として記述する。
• Lévyスペクトル表現を用いて、部分列に沿った $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ の制限分布である無限に可除分布を特徴づける。
• Lévy測度の全質量に関するモーメントおよび尾確率推定を用いて、制限分布の絶対連続性およびモーメント性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏り付きランダムウォークが葉を持つガルトン＝ワトソン木上で非相対称的領域にいるとき、レベル $ n $ に到達するまでの時間 $ \Delta_n $ の正しいスケーリングは何か？
• RQ2 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ は $ n \to \infty $ のとき分布収束するか？もしならざる場合は、どの部分列に沿って収束するか？
• RQ3 部分列 $ n_\lambda(k) = \lfloor \lambda \beta^{\gamma k} \rfloor $ に沿って、$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ の制限分布の正確な形は何か？
• RQ4 制限分布は無限に可除分布とどのように関係するか？また、それらのLévyスペクトル測度は何か？
• RQ5 $ |X_n| $ の確率的成長率は何か？また、指数 $ \gamma $ とどのように関係するか？

主な発見

• 平均測度 $ \mathbb{P} $ の下で、$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ の分布はtightである。ここで $ \gamma = \frac{\ln \beta_c}{\ln \beta} $ かつ $ \beta_c = 1 / f'(q) $ である。
• 平均測度 $ \mathbb{P} $ の下で、$ |X_n| / n^\gamma $ の分布もtightである。これは、非拡散的スケーリングが確認されたことを示している。
• ほとんど確実に、$ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln |X_n|}{\ln n} = \gamma $ が成り立つ。これは、根からのウォーク距離の正確な確率的成長率を示している。
• 大きな $ \beta $ の場合、列 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ は分布収束しない。これは、非定常的非拡散的挙動を示している。
• 部分列 $ n_\lambda(k) = \lfloor \lambda f'(q)^{-k} \rfloor $ に沿って、$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ は無限に可除分布 $ \mu_\lambda $ に分布収束する。この分布は、スペクトル測度 $ \mathcal{L}_\lambda $ を持つLévy表現を持つ。
• 制限分布 $ \mu_\lambda $ は絶対連続であり、無限大において密度が $ u^\gamma $ のように振る舞う。また、Lévy測度の可積分性により、そのモーメントはすべて有限である。