[論文レビュー] Bicrossproduct Hopf quasigroups

J. Klim, Shahn Majid|ArXiv.org|Nov 16, 2009

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限部分群 $G$ と IP 群的準同型 $M$ を持つ群 $X$ を用いて、ホップ準群の二重交叉構成を導入する。$M$ が特定の代数的条件を満たすとき、$kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ はホップ準群をなす。主な結果として、$X$ の位数 128 の群内に八元数準群 $G_{\mathbb{O}}$ が存在し、$kG_{\mathbb{O}} \triangleright\!\!\blacktriangleleft k(\mathbb{Z}_2^3)$ として明示的なホップ準群を構成する。

ABSTRACT

We recall the notion of Hopf quasigroups introduced previously. We construct a bicrossproduct Hopf quasigroup $kM\bicross k(G)$ from every group $X$ with a finite subgroup $G\subset X$ and IP quasigroup transversal $M\subset X$ subject to certain conditions. We identify the octonions quasigroup $G_O$ as transversal in an order 128 group $X$ with subgroup $Z_2^3$ and hence obtain a Hopf quasigroup $kG_O\lcocross k(Z_2^3)$ as a particular case of our construction.

研究の動機と目的

• ホップ代数からの二重交叉構成をホップ準群へ一般化し、一致するペア構造を拡張する。
• 部分群 $G$ を持つ群 $X$ 内の準同型 $M$ が IP 準群をなすための条件を同定し、ホップ準群 $kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ の構成を可能にする。
• 八元数準群 $G_{\mathbb{O}}$ が位数 128 の群 $X$ 内に $G = \mathbb{Z}_2^3$ として実現可能であり、非可換かつ非ココミュタティブなホップ準群を具体的に得ることを示す。
• 双対化を用いた双対構成により、ホップコクォーツグラップ $k(M)\blacktriangleright\!\!\triangleleft kG$ を得る。
• 二重交叉構成によりモノイダル圏構造を確立し、非可換な設定へカテゴリー枠組みを拡張する。

提案手法

• 群の分解 $X = G \ltimes M$ から、$G$ による右作用 $\triangleright$ と $\tau: M \times M \to G$ のコサイクルを定義し、準同型構造と整合性を保証する。
• 一方の因子を双対化することで、$kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ を $\triangleright$ による半直積と $\triangleleft$ による半直積余積として構成する。
• $\tau$ と $M$ 上の積に制約を課し、結果として得られる代数がホップ準群の公理（特に反数恒等式）を満たすことを保証する。
• $\mathbb{Z}_2^3$ 上のベクトル空間の交叉積を用い、$\tau(e_{\vec{a}}, e_{\vec{b}}) = g^{\vec{a} \times \vec{b}}$ を定義し、$\mathbb{Z}_2$ 上の線形性により 2-コサイクル条件を満たすことを示す。
• 八元数準群 $G_{\mathbb{O}}$ が生成元 $e_i$ と関係式 $e_i^2 = -1$, $e_ie_j = -e_je_i$ ($i \neq j$) を満たすことは、$X = \mathbb{Z}_2^3 \ltimes Cl_3$（位数 128）の群内に準同型として実現可能であることを確認する。
• 群 $X$ の乗法を $e_{\vec{a}}e_{\vec{b}} = \tau(e_{\vec{a}}, e_{\vec{b}}) \cdot e_{\vec{a}+\vec{b}}$ で定義し、八元数の代数的性質に由来する符号を加味することで、群構造全体を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分群 $G$ を持つ群 $X$ 内の準同型 $M$ が、ホップ準群 $kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ の構成を可能にする IP 準群をなすための条件は何か？
• RQ2 ホップ代数の二重交叉構成を非可換代数、特にホップ準群へ一般化する方法は何か？
• RQ3 八元数準群 $G_{\mathbb{O}}$ は、$G = \mathbb{Z}_2^3$ を持つ有限群 $X$ 内に準同型として実現可能か？ もし可能であれば、対応するホップ準群構造は何か？
• RQ4 二重交叉 $kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ がホップ準群をなすための、コサイクル $\tau$ および作用 $\triangleright$, $\triangleleft$ の必要十分条件は何か？
• RQ5 双対構成により得られるホップコクォーツグラップはどのようなものか？ また、以前の研究で得られたホップコクォーツグラップ $k[S^7] \rtimes \mathbb{Z}_2^3$ とどのような関係にあるか？

主な発見

• 二重交叉 $kM \triangleright\!\!\blacktriangleleft kG$ がホップ準群をなすための必要十分条件は、$M$ が IP 準群であること、コサイクル $\tau$ が 2-コサイクル条件を満たし、$\tau$ を含む非可換積の恒等式が成立することである。
• 八元数準群 $G_{\mathbb{O}}$ は、位数 128 の群 $X$ 内に $G = \mathbb{Z}_2^3$ を用いて実現可能であり、$X \cong \mathbb{Z}_2^3 \ltimes Cl_3$ である。ここで $Cl_3$ は $\pm e_i$ で生成されるクリフォード群である。
• 得られるホップ準群は $kG_{\mathbb{O}} \triangleright\!\!\blacktriangleleft k(\mathbb{Z}_2^3)$ であり、$\triangleright$ 作用は自明で、$\tau(e_{\vec{a}}, e_{\vec{b}}) = g^{\vec{a} \times \vec{b}}$ である。このホップ準群は非可換かつ非ココミュタティブである。
• $X$ は 128 個の元 $\{\pm e_1^{a_1}e_2^{a_2}e_3^{a_3}g_1^{b_1}g_2^{b_2}g_3^{b_3}\}$ を基底として持ち、群構造の閉包性と位数を明確に確認できる。
• $X$ 内の積は、$i,j,k$ が巡回的であるとき $e_i e_j = -e_j e_i = g_k \cdot e_{ij}$ を満たし、符号は八元数の代数的性質に由来する。また $e_i^2 = -1$ であり、クリフォード代数の関係と整合的である。
• 双対構成によりホップコクォーツグラップ $k(G_{\mathbb{O}}) \blacktriangleright\!\!\triangleleft k\mathbb{Z}_2^3$ が得られ、これは $k[S^7] \rtimes \mathbb{Z}_2^3$ の商と同型であり、二重交叉構造によりモノイダル圏が構成される。