[論文レビュー] Bielliptic and Hyperelliptic modular curves X(N) and the group Aut(X(N))

Francesc Bars, Aristides Kontogeorgis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$N \geq 7$ に対してモジュラー曲線 $X(N)$ が常に双曲的でなく、$N = 7$ および $N = 8$ のみで双双曲的であることを示している。また、自己同型群 $
ackslash mathrmigackslash{Aut}(X(N))$ が $
ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{Z}/N\mathbbigackslash{Z})$ に同型であることを証明し、これは $
ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{R})$ 内の $
ackslash Gamma(N)$ の正規化群を $
ackslash{\pm}\Gamma(N)$ で割ったものと一致することを確認し、合成 $N$ に対して完全な証明を提供することで、長年の文献的欠落を解消した。この結果は、$N > 6$ のとき $
ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の $X(N)$ における二次点の有限性を示唆する。本研究は、モジュラー曲線の自己同型群の分類において重要な空白を埋め、セールの素数 $N$ に対する結果を合成レベルに拡張した。

ABSTRACT

We determine all modular curves X(N) (with $N\geq 7$) which are hyperelliptic or bielliptic. We make available a proof that the automorphism group of X(N) coincides with the normalizer of $Γ(N)$ in $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$.

研究の動機と目的

• $N \geq 7$ であるすべての整数 $N$ について、モジュラー曲線 $X(N)$ が双曲的または双双曲的であるかどうかを特定すること。
• $N \geq 7$ に対して $\mathrm{Aut}(X(N)) \cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ である完全な証明を提供し、セールの素数 $N$ に対する結果を合成レベルに拡張すること。
• $X(N)$ の $
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の二次点の有限性を、双双曲的構造および自己同型群構造を用いて確立すること。
• 合成 $N$ に対して正式に確立されていなかったが、長年仮定されてきたモジュラー曲線 $X(N)$ の自己同型群構造を、自己完結的な証明により解消すること。

提案手法

• 著者たちは、楕円曲線の完全 $N$-レベル構造およびウェイリングペアリングの整合性を備えた $X(N)$ のモジュライ空間としての幾何学的・算術的構造を用い、その自己同型を分析した。
• モジュラー曲線の理論からの結果を適用し、$
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{Z}/N\mathbbigackslash{Z})$ の $X(N)$ への作用を用い、例外的自己同型が存在しないことを示して、この群が自己同型群の全集合であることを証明した。
• 双双曲的性の分析では、楕円曲線への次数 2 の準同型の存在を検討し、ヤコビアン構造および既知の同種分解（特に $X(7)$ および $X(8)$）を用いた。
• MAGMA および SAGE のような計算代数システムを用いて、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の関連する楕円曲線のモーデル＝ヴェイユランクを検証し、$N=7$ および $N=8$ でランクが 0 であることを確認した。これは、$X(N)$ 上の二次点の有限性を証明する上で不可欠であった。
• 自己同型群構造の証明は、$
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{R})$ 内の $
  ackslash Gamma(N)$ の正規化群が $
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{Z}/N\mathbbigackslash{Z})$ にマップすることに依存しており、正規化群の作用と剛性定理を用いて、これが自己同型群の全集合であることを示した。
• 二次点の有限性に必要なアブラモビッチ＝ハリス基準を適用し、曲線が双曲的または双双曲的であるかどうかに依存する。この基準を用いて、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の $X(N)$ における有限性を導いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \geq 7$ である整数 $N$ に対して、モジュラー曲線 $X(N)$ が双曲的であるのはいつか？
• RQ2 $N \geq 7$ である整数 $N$ に対して、モジュラー曲線 $X(N)$ が双双曲的であるのはいつか？
• RQ3 $N \geq 7$ に対して、$X(N)$ の自己同型群は $
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{Z}/N\mathbbigackslash{Z})$ に同型であるか？（合成 $N$ を含む。）
• RQ4 $N > 6$ のとき、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の $X(N)$ の二次点の集合は有限であるか？
• RQ5 $
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{R})$ 内の $
  ackslash Gamma(N)$ の正規化群から生じる以外の例外的自己同型は $
  ackslash mathrmigackslash{Aut}(X(N))$ に存在するか？

主な発見

• 定理 12 で示されたように、任意の $N \geq 7$ に対してモジュラー曲線 $X(N)$ は双曲的でない。
• 定理 13 で確立されたように、モジュラー曲線 $X(N)$ は $N = 7$ または $N = 8$ のみで双双曲的である。
• すべての $N \geq 7$ に対して自己同型群 $
  ackslash mathrmigackslash{Aut}(X(N))$ が $
  ackslash mathrmigackslash{PSL}_2(\mathbbigackslash{Z}/N\mathbbigackslash{Z})$ に同型であることが確認され、例外的自己同型は存在しない。
• 定理 21 で示されたように、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_N)$ 上の $X(N)$ の二次点の集合はすべての $N \geq 7$ に対して有限である。
• $N = 8$ の場合、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_8)$ 上の二次点の数は正確に 24 個であり、すべてが特異点である。これは MAGMA を用いて計算され、$X_0(64)$ 上での逆像計算により確認された。
• 楕円曲線 $y^2 + 3xy + y = x^3 - 2x - 3$ の $
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_7)$ 上のモーデル＝ヴェイユランクは 0 である。これは、$
  ackslash mathbbigackslash{Q}(\zeta_7)$ 上で正のランクの楕円曲線が存在しないことを示し、$X(7)$ 上に無限個の二次点が存在する可能性を排除する。