[論文レビュー] Biequivalences in tricategories

Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 56

ひとこと要約

この論文は、三圏における任意の双同値が双随伴双同値へ拡張可能であることを確立しており、各双同値が2-細胞レベルで随伴同値を備えた一貫性のある双対的構造を備えることを意味する。この結果により、モノイダル構造およびピカルド2-圏的構造を双同値に沿って一貫性を持って輸送することが可能になり、高次元圏論における一貫性が保証される。

ABSTRACT

We show that every internal biequivalence in a tricategory T is part of a biadjoint biequivalence. We give two applications of this result, one for transporting monoidal structures and one for equipping a monoidal bicategory with invertible objects with a coherent choice of those inverses.

研究の動機と目的

• 三圏における内部双同値が、常に双随伴双同値の一部として現れることを確立すること。
• 双同値に沿ってモノイダル構造や高次圏的構造を輸送する際の構造的曖昧さを解消し、標準的で一貫性のある枠組みを提供すること。
• すべての対象が弱く可逆であるモノイダル2-圏（ピカルド2-圏）において、双同値を用いて逆元の標準的選択が一貫して与えられることを示すこと。
• 特に三圏のモノイダルおよびピカルド2-圏について、一意性および同値性に関する結果を証明する基盤を提供すること。

提案手法

• 双圏、関手、擬自然変換、変形からなる三圏（Bicat）について、結果を証明すること。
• 輸送結果の確立：関手が局所的埋め込み条件を満たし、かつターゲット三圏が双随伴双同値性を持つならば、ソース三圏に対しても同様の性質が成り立つこと。
• 関手三圏への移行に関して性質が保存されることを示すこと、すなわち、T がその性質を持つならば、任意の S に対して Tricat(S,T) も同様にその性質を持つこと。
• 一貫性定理およびヤオダ埋め込みを用いて、結果を任意の三圏へ拡張すること。
• 与えられた双同値から双随伴双同値構造を定義するための一貫性セル（例：η, ε, χ, δ, γ）を明示的に構成すること。
• モノイダル2-圏への応用において、双同値とその双随伴構造を用いて、テンソル積および結合則を一貫して持ち上げること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三圏における任意の双同値は、一貫性のある双対的構造を持つ双随伴双同値に拡張可能か？
• RQ2 双同値を介してモノイダル構造を1つの双圏から別の双圏へ輸送する方法は何か？このプロセスにおいて双随伴双同値は果たす役割は何か？
• RQ3 すべての対象が弱く可逆であるピカルド2-圏において、逆元の標準的選択が一貫して与えられ、かつその選択が一意的か？
• RQ4 三圏間の関手が、双同値が双随伴双同値の一部であるという性質を保存するための条件は何か？
• RQ5 一貫性のあるピカルド2-圏の構造は、三同値に関して一意的か？また、これは基礎となる三圏とどのように関係するか？

主な発見

• 三圏における任意の双同値は、双随伴双同値に拡張可能であり、逆元および単位/余単位データは一意に同型を除いて決定される。
• 双同値に沿ったモノイダル構造の輸送は、双随伴双同値に拡張された場合にのみ可能であり、これは結合則および単位則を一貫して定義するための必要な高次セルを提供するためである。
• ピカルド2-圏においては、一貫した逆元の選択が存在し、一貫性のある三同値を除いて一意的であるため、構造は標準的である。
• 一貫性ピカルド2-圏の三圏からピカルド2-圏の三圏への忘却関手は三同値であるため、一貫性構造の一意性が証明される。
• 双随伴双同値構造の構成には、一貫性セル（例：η, ε, χ, δ, γ）の貼り合わせ図式が関与し、これらの図式は一貫性定理により可換である。
• ヤオダ埋め込みおよび関手三圏における双随伴双同値性の保存性により、この結果はすべての三圏に普遍的に成立する。