[論文レビュー] Bifurcation results for a fractional elliptic equation with critical exponent in R^n

Serena Dipierro, María Medina+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^n$ 上の臨界ソボレフ指数と下臨界摂動を伴う分数階楕円型方程式に対して、リャプノフ・シュミット還元と新規の分数階正則性理論を用いて、正の解の存在を確立する。主な結果は、$\epsilon > 0$ が十分に小さい場合、少なくとも1つの正の解が分岐することであり、摂動 $h$ が符号を変える場合および $q > \frac{2s}{n-2s}$ のとき、第2の解が出現することである。

ABSTRACT

In this paper we study some nonlinear elliptic equations in $\R^n$ obtained as a perturbation of the problem with the fractional critical Sobolev exponent, that is $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {in}\R^n,$$ where $s\in(0,1)$, $n>4s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $0

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^n$ 上の臨界指数と下臨界摂動を有する分数階楕円型方程式に対する正の解の存在を確立すること。
• 小さなパラメータ $\varepsilon > 0$ の変動に伴う解の分岐挙動を、特に-compactly supported な摂動 $h$ の存在下で分析すること。
• エネルギー汎関数が正則性を欠く場合の $0 < q < 1$ のケースを扱うために、新たな分数階楕円型正則性理論を構築すること。
• $h \geq 0$ かつ $h \not\equiv 0$ のとき、少なくとも1つの正の解が存在することを証明し、$h$ が符号を変える場合および $q > \frac{2s}{n-2s}$ のとき、第2の解が存在することを示すこと。

提案手法

• グランドステート解 $z_{\mu,\xi}$ の多様体上で、無限次元問題を有限次元問題に還元するため、リャプノフ・シュミット還元法を用いる。
• 問題の変分的構造とグランドステート $z_{\mu,\xi}$ の非退化性を用いて、臨界点理論を介して解を構成する。
• $0 < q < 1$ の場合にエネルギー汎関数が正則性を欠く問題を扱うために、新たな関数的設定を導入し、分数階楕円型正則性理論の適用を可能にする。
• $\mu \to 0$ のときの削減された汎関数 $\Gamma(\mu, \xi)$ の振る舞いを、漸近解析および優越収束定理またはファトウの補題を用いて分析する。
• 適切なコンパクト集合 $S$ 上で $\Gamma$ のコンパクト性および最大/最小原理を確立し、臨界点を特定する。
• 命題 4.2 を適用して、削減された汎関数の臨界点を元の方程式 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$ の解に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階楕円型方程式 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$ が $\mathbb{R}^n$ 上で $\varepsilon > 0$ が十分に小さい場合に正の解を有するための条件は何か？
• RQ2 摂動 $h$ の符号と台が、グランドステート解から分岐する正の解の数にどのように影響するか？
• RQ3 $0 < q < 1$ の場合に、分数階臨界問題の文脈で必要な関数解析的および正則性の道具は何か？
• RQ4 非滑らかで臨界成長を有する分数階偏微分方程式に、リャプノフ・シュミット還元法をどのように適合させられるか？
• RQ5 $\mu \to 0$ のとき、削減された汎関数 $\Gamma(\mu, \xi)$ の漸近的挙動は何か？ そして、それが解の存在にどのように寄与するか？

主な発見

• $n > 4s$, $\varepsilon > 0$ が十分に小さく, $0 < q < p = \frac{n+2s}{n-2s}$, かつ $h$ が連続でコンパクトな台を持ち $h_+ \not\equiv 0$ であるとき、少なくとも1つの正の解が存在する。
• $0 < q \leq \frac{2s}{n-2s}$ かつ $h \geq 0$ のとき、削減された汎関数 $\Gamma(\mu, \xi)$ は $\lim_{\mu \to 0} \frac{\Gamma(\mu, \xi_0)}{\mu^{n - \gamma_s}} = +\infty$ を満たし、パrameter領域の内部に最大値が存在することが保証される。
• $q > \frac{2s}{n-2s}$ かつ $h$ が符号を変えるとき、汎関数 $\Gamma$ はパrameter領域の内部に局所的最小値を有し、これにより第2の正の解が出現する。
• 解の存在は、有限次元還元と臨界点定理の適用に依拠しており、グランドステート $z_{\mu,\xi}$ の非退化性に依存する。
• $\Gamma(\mu, \xi)$ の漸近的解析は、$\mu \to 0$ のとき $h(\mu y + \xi_0) z_0^{q+1}(y)$ が $L^1$ 上で $h(\xi_0) z_0^{q+1}(y)$ に収束することに依拠しており、これは優越収束定理によって正当化される。
• 本稿では、$u_{1,\varepsilon} = z_{\mu_*, \xi_*} + w(\varepsilon, z_{\mu_*, \xi_*})$ という解を構成し、これは正であり $\varepsilon \to 0$ のときグランドステートに収束する。