[論文レビュー] Bilinear systems with two supports: Koszul resultant matrices, eigenvalues, and eigenvectors

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2つの異なるサポートを持つ混合多重斉次双一次系に対する、初めての行列式公式を提示する。これは、Weymanの複体から導かれるKoszul結果行列を用いて構築される。古典的な固有値・固有ベクトル基準をKoszul型行列へ拡張し、線形代数的手法による0次元系の解法を可能にする。実験的結果では、グレブナー基底法と比較して、行列のサイズが顕著に削減されている。

ABSTRACT

A fundamental problem in computational algebraic geometry is the computation of the resultant. A central question is when and how to compute it as the determinant of a matrix. whose elements are the coefficients of the input polynomials up-to sign. This problem is well understood for unmixed multihomogeneous systems, that is for systems consisting of multihomogeneous polynomials with the * 1 same support. However, little is known for mixed systems, that is for systems consisting of polynomials with different supports. We consider the computation of the multihomogeneous resultant of bilinear systems involving two different supports. We present a constructive approach that expresses the resultant as the exact determinant of a Koszul resultant matrix, that is a matrix constructed from maps in the Koszul complex. We exploit the resultant matrix to propose an algorithm to solve such systems. In the process we extend the classical eigenvalues and eigenvectors criterion to a more general setting. Our extension of the eigenvalues criterion applies to a general class of matrices, including the Sylvester-type and the Koszul-type ones.

研究の動機と目的

• 2つの異なるサポートを持つ混合多重斉次双一次系に対する行列式公式を構築すること。このような公式は、以前に存在しなかった。
• 古典的な固有値・固有ベクトル基準をKoszul型行列へ拡張し、線形代数的手法による系の解法を可能にすること。
• Weymanの複体から構築されたKoszul結果行列の正確な行列式として、多重斉次結果を計算する構成的技法を提供すること。
• 結果行列の固有値と固有ベクトルを用いた0次元正方多項式系の解法アルゴリズムを設計すること。
• Koszul結果行列のサイズと、グレブナー基底法から得られる行列のサイズを比較し、計算上の利点を示すこと。

提案手法

• Weymanの複体を用いて混合系のためのKoszul複体からの写像を用いて、Koszul結果行列を構築する。
• 行列の分割と先行ブロックの正則性に基づき、Sylvester型行列とKoszul型行列の両方に適用可能な一般化された固有値基準を導入する。
• 結果行列としての行列式の利用を可能にするために、三重線形多項式 $ f_0 $ を用いて系を過剰決定系に変換する。
• Koszul結果行列の固有値と固有ベクトルを計算し、射影と1変数系の解法により座標を再構成することで、解を回復する。
• 行列の分割 $ M = \begin{bmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} \\ M_{2,1} & M_{2,2} \end{bmatrix} $ を適用し、$ M_{1,1} $ が正則であることを仮定して固有ベクトルを抽出し、座標を回復する。
• FGbのグレブナー基底計算と比較して、行列サイズを実験的に検証し、サイズの一貫した削減を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの異なるサポートを持つ混合多重斉次双一次系に対して、行列式公式を構築することは可能か？
• RQ2 古典的な固有値・固有ベクトル基準をKoszul型行列へ一般化する方法は何か？
• RQ3 Koszul結果行列の構造と0次元多項式系の解法の関係は何か？
• RQ4 このような系において、Koszul結果行列のサイズは、グレブナー基底計算から得られる行列のサイズと比べてどうなるか？
• RQ5 Weymanの複体から構築されたKoszul型行列の正確な行列式として、結果を計算できるか？

主な発見

• 本稿では、Weymanの複合から導かれるKoszul結果行列を用いて、2つのサポートを持つ混合多重斉次双一次系に対する、初めての行列式公式を提示する。
• 固有値・固有ベクトル基準がKoszul型行列を含む一般クラスの行列へ拡張され、線形代数的手法による0次元系の解法が可能になった。
• $ n = 12 $ の場合、Koszul結果行列は、FGbのグレブナー基底計算における最大行列より最大5.1倍も小さくなる。
• テストされたいくつかのケースでは、FGbの行列サイズとKoszul行列サイズの比が2未満であり、一部のケースでは2.7倍の削減が達成された。
• 固有値と固有ベクトルの計算、その後の射影と1変数系の解法による座標再構成により、解が正常に回復された。
• 実験的結果から、Koszul結果行列はグレブナー基底法に比べて顕著に小さく、実際の計算においてより高速な線形代数処理が期待できることが示された。