[論文レビュー] Towards Mixed Gr{ö}bner Basis Algorithms: the Multihomogeneous and Sparse Case

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、混合スパースおよびマルチ同次多項式系におけるグレブナー基底の計算のための2つの新しいアルゴリズムを提示する。多面体代数と行列F5に類似した手法を用い、正則性仮定の下でゼロへの再帰的還元を回避する。主な貢献は、明示的な次数上限を伴うスパースグレブナー基底の計算と、冗長な還元を避ける効率的な正規形計算であり、0次元系の高速な解法を可能にする。

ABSTRACT

One of the biggest open problems in computational algebra is the design of efficient algorithms for Gr{ö}bner basis computations that take into account the sparsity of the input polynomials. We can perform such computations in the case of unmixed polynomial systems, that is systems with polynomials having the same support, using the approach of Faug{è}re, Spaenlehauer, and Svartz [ISSAC'14]. We present two algorithms for sparse Gr{ö}bner bases computations for mixed systems. The first one computes with mixed sparse systems and exploits the supports of the polynomials. Under regularity assumptions, it performs no reductions to zero. For mixed, square, and 0-dimensional multihomogeneous polynomial systems, we present a dedicated, and potentially more efficient, algorithm that exploits different algebraic properties that performs no reduction to zero. We give an explicit bound for the maximal degree appearing in the computations.

研究の動機と目的

• 入力多項式のサポートが異なる混合多項式系へのスパースグレブナー基底計算の拡張。
• 多項式系のスパarsityとマルチ同次構造を活用するアルゴリズムの設計により、不要なゼロへの還元を回避すること。
• 計算中に現れる最大次数の明示的上限の提供により、複雑性推定の向上。
• スパースかつマルチ同次系に特化した行列ベースのF5に類似したアルゴリズム（$\texttt{M}^{2}$）の開発。
• 非同次化後の商環に対して単項式基底を形成する条件の確立。

提案手法

• 入力多項式のサポートに含まれる単項式に対応する変数を有する多面体代数フレームワークを導入し、スパースグレブナー基底計算を可能にする。
• サポートに適した単項式順序に基づく、変更された除法アルゴリズムを用いて、多面体代数上での正規形を計算する。
• スパースF5基準を用いた、行列F5に類似したアルゴリズム（$\texttt{M}^{2}$）を適用し、冗長なゼロへの還元を回避する。
• 同次化と非同次化を用いて、多面体代数におけるスパース基底と元のイデアルとの関係を確立する。
• ブロック行列のシュール補行列を用いて、商環における多項式の乗法写像を計算する。
• システムから導かれる重要な行列の可逆性に依拠し、非同次化された単項式が商環の単項式基底を形成する条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式系のサポート構造を活用することで、混合スパース多項式系におけるグレブナー基底計算をより効率化できるか？
• RQ2 混合系におけるスパースグレブナー基底アルゴリズムで、ゼロへの還元を回避できる条件は何か？
• RQ3 マルチ同次系におけるスパースグレブナー基底計算において、中間多項式の最大次数は何か？
• RQ4 ブロック行列構造を用いて、商環における乗法写像を効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 完全な計算を伴わずに、スパースグレブナー基底から商環の単項式基底を回復できるか？

主な発見

• 提示されたアルゴリズムは、正則性仮定の下でゼロへの還元なしにスパースグレブナー基底を計算でき、計算のオーバーヘッドを顕著に低減する。
• 0次元的かつ正方的で、マルチ同次系の場合、マルチグレーディング構造とシステムの代数的性質を活用することで、ゼロへの還元を回避する。
• マルチグレーディングされたカステルヌオーヴォ-ムーディー正則性を用いて、計算中の最大次数の明示的上限が導出される。
• システムに無限遠点での解がない場合、基底から得られる非同次化された単項式は、商環の単項式基底を形成する。
• アルゴリズムにおけるブロック行列のシュール補行列は、商環における多項式の乗法写像を単項式基底に関して計算する。
• システムに無限遠点での解がない場合、行列$M_{2,2}^{f_0}$は可逆であり、基底と写像計算の正しさが保証される。