[論文レビュー] Bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras

Sylvain Attan|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホム・ジョルダン代数およびホム・代数的代数の上の双モジュールを導入し、古典的ジョルダン代数および代数的代数の双モジュールが代数自己準同型を用いてそのホム一般化上にねじれることを確立する。主な貢献は、ホム・ジョルダン代数とその双モジュールのスプリット・ノルム拡張が、再びホム・ジョルダン代数をなすことを示したことである。これは、古典的モジュール拡張をホム代数の文脈に一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, bimodules over Hom-Jordan algebras and the ones over Hom-alternative algebras are defined. It is shown that bimodules over Jordan and alternative algebras are twisted into bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras via endomorphisms respectively. Some relations between bimodules over Hom-associative, Hom-Jordan and Hom-alternative algebras, are given.

研究の動機と目的

• ホム代数の枠組みに古典的モジュール理論を拡張するために、ホム代数的およびホム・ジョルダン代数の上の双モジュールを定義し、それらを研究すること。
• 自己準同型を用いて、古典的代数的およびジョルダン代数の上の双モジュールが、それらのホム一般化上の双モジュールに変換されるねじれ構成を確立すること。
• ホム・ジョルダン代数とその双モジュールのスプリット・ノルム拡張が、新たなホム・ジョルダン代数構造をなすことを証明すること。これは、古典的代数的拡張をホム代数の文脈に一般化するものである。
• ホム結合的、ホム代数的、ホム・ジョルダン代数の上の双モジュールの間の構造的関係を明確にすること。

提案手法

• ねじれ作用を用いて、ホム代数的およびホム・ジョルダン代数の上の双モジュールを定義し、それらがねじれ写像 α と可換であることを保証する。
• 反交換子構成 x∗y = xy + yx を用いて、ホム代数的代数のプラス代数がホム・ジョルダン代数であることを示す。
• 古典的代数的代数の上のモジュールが自己準同型 α と整合的である場合、ねじれモジュール構造が対応するホム代数的代数上の双モジュールを定義することを証明する。
• 拡張代数 A⊕V においてホム・ジョルダン恒等式を満たすことを、双線形性およびモジュール写像と α の整合性を用いて、アソシエータが消えることによって検証する。
• スプリット・ノルム拡張 μ̃(a+m,b+n) = ab + a·n + m·b および α̃(a+m) = α_A(a) + α_V(m) を構成し、乗法性およびホム・ジョルダン恒等式に対する閉包性を示す。
• α_V^n = Id_V であることに着目し、繰り返しねじれ作用 ρ̃_l^n および ρ̃_r^n を定義し、それらがホムモジュール V_α_V に双モジュール構造を定義することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ジョルダン代数および代数的代数の上の双モジュールは、どのようにホム代数の文脈に一般化できるか？
• RQ2 古典的代数の自己準同型 α が、対応するホム代数上の双モジュール構造を誘導するための条件は何か？
• RQ3 ホム・ジョルダン代数とその双モジュールのスプリット・ノルム拡張が、ホム・ジョルダン恒等式を満たすことを示せるか？
• RQ4 ホム・ジョルダン代数上の左および右特別モジュールが、双モジュール構造をもつための条件は何か？
• RQ5 ホム結合的代数の上の双モジュールとホム・ジョルダン代数の上の双モジュールの関係は何か？

主な発見

• 古典的代数的代数の上の双モジュールが、モジュール写像が α と可換である限り、対応するホム代数的代数上の双モジュールを誘導する。
• ホム・ジョルダン代数 A とその双モジュール V のスプリット・ノルム拡張は、A⊕V 上に新たなホム・ジョルダン代数構造をもたらす。これは、ホム・ジョルダンアソシエータが消えることによって検証される。
• α_V^n = Id_V が成り立つような n ∈ ℕ が存在する場合、ねじれ作用 ρ̃_l^n および ρ̃_r^n は、ホム代数 A_α_A 上のホムモジュール V_α_V に双モジュール構造を定義する。
• ホム・ジョルダン代数上の左および右特別モジュールが、ねじれ写像 α と追加の整合性条件を満たす場合、双モジュール構造をもつようになる。
• プラス代数構成（x∗y = xy + yx）により、任意のホム代数的代数がホム・ジョルダン代数に変換され、元の代数上の双モジュールはプラス代数上の双モジュールに引き上げられる。
• 拡張代数 A⊕V におけるホム結合的アソシエータは、A の成分アソシエータが消え、モジュールの整合性条件が成り立つことにより消える。これにより、ホム・ジョルダン恒等式が成立することが確認される。