[論文レビュー] Bimodules over operads characterize morphisms

Kathryn Hess, Paul-Eugène Parent+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、対象を固定したまま射集合を拡張することで、P-(余)代数間の射をパrametrizeする『相対的オペラッド』としての『オペラッド上のコリング』を導入する。『屈折』する関手を用いて、チェーン余代数からA-コリングを構成し、 Koszul分解を介して Gugenheim と Munkholm の DASH および DCSH 圏をオペラッド的特徴づけし、アサイクルモデルを用いて高次のホモトピー構造を可能にする。

ABSTRACT

Let M be a bicomplete, closed symmetric monoidal category. Let P be an operad in M, i.e., a monoid in the category of symmetric sequences of objects in M, with its composition monoidal structure. Let R be a P-co-ring, i.e., a comonoid in the category of P-bimodules. The co-ring R induces a natural ``fattening'' of the category of P-(co)algebras, expanding the morphism sets while leaving the objects fixed. Co-rings over operads are thus ``relative operads,'' parametrizing morphisms as operads parametrize (co)algebras. Let A denote the associative operad in the category of chain complexes. We define a ``diffracting'' functor that produces A-co-rings from symmetric sequences of chain coalgebras, leading to a multitude of ``fattened'' categories of (co)associative chain (co)algebras. In particular, we obtain a purely operadic description of the categories DASH and DCSH first defined by Gugenheim and Munkholm, via an A-co-ring that has the two-sided Koszul resolution of A as its underlying A-bimodule. The diffracting functor plays a crucial role in enabling us to prove existence of higher, ``up to homotopy'' structure of morphisms via acyclic models methods. It has already been successfully applied in this sense in a number of recent articles and preprints.

研究の動機と目的

• P-(余)代数間の射を記述する構造として、オペラッド上のコリングを導入することで、オペラッドを一般化すること。
• P-(余)代数の射の構造を豊かにしたカテゴリを、完全にオペラッド的枠組みで理解するためのフレームワークを提供すること。
• 対称系列としてのチェーン余代数とA-コリングとの間の新しい『屈折』関手を介して、両者の関係を確立すること。
• アサイクルモデルの手法を用いて、射に高次のホモトピー構造を構成可能にする。

提案手法

• 双完備かつ閉じた対称モノイダル圏 M 上の P-双モジュラー圏におけるコモノイドとして P-コリングを定義する。
• P-(余)代数の圏における射集合を拡張するが、対象は固定する『太らせる』構成を導入する。
• チェーン複体の圏における A-コリングへと、チェーン余代数の対称系列を写像する『屈折』関手を構成する。
• 結合的オペラッド A の両側 Koszul分解を、重要な A-コリングの A-双モジュラー構造として用いる。
• アサイクルモデルの手法を用いて、射に高次のホモトピー構造が存在することを証明する。
• コリングのオペラッド的構造を活用し、DASH および DCSH 圏を一様的かつ内在的に記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P-(余)代数間の射は、オペラッドに類似した代数的構造を用いてどのようにパラメータ化できるか？
• RQ2 チェーン余代数の対称系列は、射集合を豊かにするコリングの構成において果たす役割は何か？
• RQ3 DASH および DCSH 圏は、結合的オペラッド上のコリングを用いて完全にオペラッド的言語で記述可能か？
• RQ4 『屈折』関手はチェーン余代数を A-コリングへとどのように関連させ、高次のホモトピー構造を促進するか？
• RQ5 アサイクルモデルの手法は、射に「ホモトピーに沿った」構造を構成するためにどのように機能するか？

主な発見

• オペラッド上のコリングは、射集合を太らせる仕組みを備えた『相対的オペラッド』として機能し、P-(余)代数間の射を自然にパラメータ化する。
• 『屈折』関手は、チェーン余代数の対称系列から A-コリングを構成し、このような構造を体系的に生成する方法を提供する。
• A-コリングのうち、A の両側 Koszul分解を基底 A-双モジュラー構造として用いるものにより、DASH および DCSH 圏の完全なオペラッド的記述が得られる。
• この構成により、アサイクルモデルの手法を用いて、射に高次のホモトピー構造が存在することが可能になる。
• この枠組みは、Gugenheim と Munkholm が行った従来の構成を統一的かつ一般化する。
• この方法は、導来代数学およびホモトピー論における射のカテゴリを理解するための新しいオペラッド的視点を提供する。