[論文レビュー] Binary, Shortened Projective Reed Muller Codes for Coded Private Information Retrieval

Myna Vajha, Vinayak Ramkumar+1 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Feb 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\tau = 3,4$ に対して、同次多項式評価と符号短縮を活用することで最小の保存オーバーヘッドを達成する、最適なシステム的PIR符号としての二値短縮型プロジェクト型リード・マラー（PRM）符号を提示する。この構成により、新たな下界に一致する最適なブロック長が得られ、$\tau = 3,4$ に対して最適な原始的マルチセットバッチ符号の構築も可能となる。結果として、効率性および保存オーバーヘッドの点で、既存のPIR符号構成を改善する。

ABSTRACT

The notion of a Private Information Retrieval (PIR) code was recently introduced by Fazeli, Vardy and Yaakobi who showed that this class of codes permit PIR at reduced levels of storage overhead in comparison with replicated-server PIR. In the present paper, the construction of an $(n,k)$ $τ$-server binary, linear PIR code having parameters $n = \sum\limits_{i = 0}^{\ell} {m \choose i}$, $k = {m \choose \ell}$ and $τ= 2^{\ell}$ is presented. These codes are obtained through homogeneous-polynomial evaluation and correspond to the binary, Projective Reed Muller (PRM) code. The construction can be extended to yield PIR codes for any $τ$ of the form $2^{\ell}$, $2^{\ell}-1$ and any value of $k$, through a combination of single-symbol puncturing and shortening of the PRM code. Each of these code constructions above, have smaller storage overhead in comparison with other PIR codes appearing in the literature. For the particular case of $τ=3,4$, we show that the codes constructed here are optimal, systematic PIR codes by providing an improved lower bound on the block length $n(k, τ)$ of a systematic PIR code. It follows from a result by Vardy and Yaakobi, that these codes also yield optimal, systematic primitive multi-set $(n, k, τ)_B$ batch codes for $τ=3,4$. The PIR code constructions presented here also yield upper bounds on the generalized Hamming weights of binary PRM codes.

研究の動機と目的

• レプリケートサーバーPIRシステムにおける最小の保存オーバーヘッドを有するシステム的PIR符号の設計を目的とする。
• 二値プロジェクト型リード・マラー（PRM）符号を用い、短縮とパuncturingを適用することで、$\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$ に対してPIR符号を構築することを目的とする。
• システム的PIR符号のブロック長 $n(k,\tau)$ に対する新たな下界を確立し、$\tau = 3,4$ における最適性を証明することを目的とする。
• 構築されたPIR符号が、$\tau = 3,4$ に対して最適な原始的マルチセットバッチ符号をもたらすことを示すこと。
• PIR符号構成を用いて、二値PRM符号の一般化ハミング重みに対する上界を導出すること。

提案手法

• PIR符号は、パラメータ $n = \sum_{i=0}^{\ell} \binom{m}{i}$, $k = \binom{m}{\ell}$, $\tau = 2^\ell$ を持つ二値プロジェクト型リード・マラー（PRM）符号における同次多項式評価を用いて構築される。
• 任意の $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$ に対して、PRM符号の単一記号パuncturingおよび短縮を適用することで、所望の $k$ と $\tau$ を達成する。
• 主な技術的洞察は、パリティ検査生成子の成分ごとの積を用いて、各メッセージ記号がパリティ部の二乗のスパンに属することを示し、これによりブロック長の下界が得られる。
• 新たなブロック長下限として $n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$ を導出する。この下限は $\tau = 3,4$ において上界と一致する。
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 符号の構成により、$\tau = 4$ に対して最適な $n(k,4)$ が達成され、そのパunctured版により $\tau = 3$ に対して最適な $n(k,3)$ が達成される。これにより $\tau = 3,4$ における最適性が証明される。
• 証明は、システム的部とパリティ部からなる互いに素な回復集合を形成することで、メッセージ記号が復元可能であることを示すことに依存し、これにより応答のプライバシー性と線形性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二値PRM符号をシステム的に短縮およびパuncturingすることで、$\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$ に対して保存オーバーヘッドを低減したPIR符号を構築可能か？
• RQ2 システム的PIR符号の最小達成可能ブロック長 $n(k,\tau)$ は何か？ また、構成的符号によってこの値に一致可能か？
• RQ3 構築されたPIR符号は $\tau = 3,4$ に対して最適であり、理論的下限に一致するか？
• RQ4 これらのPIR符号を用いて、$\tau = 3,4$ に対して最適な原始的マルチセットバッチ符号を構築可能か？
• RQ5 PIR構成を用いて、二値PRM符号の一般化ハミング重みに対する上界を導出可能か？

主な発見

• $\tau = 3,4$ に対して、構築されたPIR符号は、最小の可能なブロック長 $n(k,\tau)$ を達成し、新たな下限 $n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$ と一致する。これにより最適性が証明される。
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 符号の構成により、$\tau = 4$ に対して最適なシステム的PIR符号が得られ、ブロック長 $n = k + m + 1$、次元 $k = \binom{m}{2} - \gamma$ を有する。
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 符号の1つのパリティ記号をパuncturingすることで、$\tau = 3$ に対して最適なPIR符号が得られ、$n = k + m$ となる。
• これらの最適PIR符号は、[2]で確立されたように、$\tau = 3,4$ に対して最適な原始的マルチセットバッチ符号をもたらす。
• この構成により、PIR符号内の互いに素な回復集合の構造を基に、二値PRM符号の一般化ハミング重みに対する上界が得られる。
• 提案された符号のブロック長 $n_1$ は、[1]で知られている最良の符号と比較して、表IIに示すように $k \leq 32$ および $\tau = 3,4,8,16$ に対して同等または優れている。