[論文レビュー] Binary strings of length $n$ with $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros

Monimala Nej, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、長さ $ n $ の二進文字列のうち、$ x $ 個の 0 を含み、連続する 0 の最大長が $ k $ であるものの個数を表す $ F_n(x,k) $ についての再帰関係を導出し、フィボナッチ数列、カタラン数、三角数列といった既知の数列が $ F_n(x,k) $ を用いて表現可能であることを示している。さらに、回文的二進文字列への分析を拡張し、$ n+1 $ の整数分割のうち最大部が $ k+1 $ であるものの集合と、このような文字列との間の一対一対応を確立し、回文的分割の個数を明示的な式で表している。

ABSTRACT

In this paper, we study $F_{n}(x,k)$, the number of binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and a longest subword of $k$ zeros. A recurrence relation for $F_{n}(x,k)$ is derived. We expressed few known numbers like Fibonacci, triangular, number of binary strings of length $n$ without $r$-runs of ones and number of compositions of $n+1$ with largest summand $k+1$ in terms of $F_{n}(x,k).$ Similar results and applications were obtained for F$_{n}(x,k),$ the number of all palindromic binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros.

研究の動機と目的

• 長さ $ n $、0 の個数 $ x $、連続する 0 の最大長が $ k $ である二進文字列の個数を表す $ F_n(x,k) $ についての再帰関係を導出すること。
• フィボナッチ数、カタラン数、三角数、および長方形数といったよく知られた整数列が $ F_n(x,k) $ を用いて表現可能であることを示すこと。
• 回文的二進文字列への分析を拡張し、$ x $ 個の 0 と最大 $ k $ 個の連続 0 を持つ回文的文字列の個数を表す $ \hat{F}_n(x,k) $ を定義すること。
• 最大部が $ k+1 $ である $ n+1 $ の整数分割と $ B_n^{x,k} $ の間の一対一対応を確立し、回文的分割の個数を求める公式を導出すること。

提案手法

• 再帰関係の導出にあたり、$ x $ の $ n $ と $ k $ に基づく下限と上限を用いた $ F_n(x,k) > 0 $ であるための必要十分条件を、床関数と割り切れる条件を含む形で提示する。
• 指定された 0 の個数と最大連続 0 長の二進文字列の個数を体系的に計算可能にするための再帰式を提案する。
• $ k $ 個の 0 のブロックに 1 が続く構造を用いて、$ (k+1) $ 個の連続 0 が発生しないようにする組合せ的構成法を用いる。
• 整数分割の最大部が $ k+1 $ である $ n+1 $ の分割と $ B_n^{x,k} $ に属する二進文字列との間の一対一対応（双対写像）を確立し、文字列の構造と整数分割の関係を明示する。
• $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ を、$ \hat{F}_n(x,k) $ に対応する回文的分割の個数として定義し、$ x $、$ k $、$ n $ の偶奇や割り切れる条件に基づく場合分けにより、$ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ の閉形式を導出する。
• 母関数および分割論的技法を用いて $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ の公式を導出し、$ x $、$ k $、$ n $ の偶奇に基づく場合分けを明確にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $、0 の個数 $ x $、連続 0 の最大長 $ k $ の二進文字列の個数を、どのように体系的に数え上げることができるか？
• RQ2 フィボナッチ数、カタラン数、三角数列といった古典的整数列は、$ F_n(x,k) $ を用いてどのように表現可能か？
• RQ3 $ F_n(x,k) > 0 $ であるための正確な条件は何か？また、この条件は与えられた $ n $ と $ k $ に対して $ x $ の取り得る値にどのような制約を課えるか？
• RQ4 0 を $ x $ 個含み、連続する 0 の最大長が $ k $ である回文的二進文字列の構造は、整数分割や整数分割の構造とどのように関係しているか？
• RQ5 最大部が $ k+1 $ である $ n+1 $ の回文的分割の個数を、$ \hat{F}_n(x,k) $ に対応する形で閉形式の公式にできるか？

主な発見

• 本稿では、$ k \nmid x $ のとき $ x + \lfloor x/k \rfloor \leq n $、$ k \mid x $ のとき $ x + \frac{x}{k} - 1 \leq n $ が成り立つならば $ F_n(x,k) > 0 $ であることが示され、$ n $ と $ k $ が与えられたときの $ x $ の正確な上限が得られている。
• $ F_n(x,k) > 0 $ となる $ (x,k) $ のペアの個数は $ |S_n| = \binom{n+2}{2} - \sum_{i=0}^n \left\lfloor \frac{n}{i+1} \right\rfloor $ で与えられ、これは可能な構成の組合せ的数え上げを示している。
• 最大部が $ k+1 $ である $ n+1 $ の整数分割の個数は、$ B_n^{x,k} $ と一対一に対応しており、この対応は文字列のブロック分解を用いて明示的に構成されている。
• 回文的二進文字列に関しては、$ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ が閉形式で得られている：$ x $ が奇数のとき $ \hat{P}_{2n+2}(x,k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor - 1} P_{n-i}\left(\frac{x-2i-1}{2}, k\right) + \sum_{j=0}^k P_{\frac{2n-k+1}{2}}\left(\frac{x-k}{2}, j\right) $ であり、$ x $ が偶数のときも同様の式が成り立つ。
• 特定のケースでは正確な個数が得られる。例えば $ \hat{P}_{n+1}(x,x) = \hat{P}_{n+1}(x,1) = 1 $ であり、$ \hat{P}_{2n+2}(x,2) $ は $ i < \lfloor x/4 \rfloor - 1 $ のとき $ i+1 $、それ以外のときは $ \lfloor x/4 \rfloor $ となる。これは 00 ブロックの数に依存する。
• $ k \mid x $ かつ $ n = x + \frac{x}{k} - 1 $ のとき、$ \hat{P}_{n+1}(x,k) = 1 $ となる。これは、このような場合に一意の回文的分割が存在することを示している。