[論文レビュー] Bipartite Matching in Nearly-linear Time on Moderately Dense Graphs

Jan van den Brand, Yin-Tat Lee+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 71被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、中程度に密集したグラフ上で最大基数二部マッチングを $Õ(m + n^{1.5})$ 時間で解く確率的アルゴリズムを提示する。これは、古典的な $O(m\sqrt{n})$ および $\widetilde{O}(n^\omega)$ の境界に対する、数十年来の初めてのほぼ線形時間の改善である。この手法は、新規のプライマル・デュアル内点法と、高エネルギー辺のための動的拡張子分解およびサンプリング技術を組み合わせており、収束を高速化し、反復の維持を効率的に行うことを可能にする。

ABSTRACT

We present an $ ilde O(m+n^{1.5})$-time randomized algorithm for maximum cardinality bipartite matching and related problems (e.g. transshipment, negative-weight shortest paths, and optimal transport) on $m$-edge, $n$-node graphs. For maximum cardinality bipartite matching on moderately dense graphs, i.e. $m = Ω(n^{1.5})$, our algorithm runs in time nearly linear in the input size and constitutes the first improvement over the classic $O(m\sqrt{n})$-time [Dinic 1970; Hopcroft-Karp 1971; Karzanov 1973] and $ ilde O(n^ω)$-time algorithms [Ibarra-Moran 1981; Mucha-Sankowski 2004] (where currently $ω\approx 2.373$). On sparser graphs, i.e. when $m = n^{9/8 + δ}$ for any constant $δ>0$, our result improves upon the recent advances of [Madry 2013] and [Liu-Sidford 2020b, 2020a] which achieve an $ ilde O(m^{4/3+o(1)})$ runtime. We obtain these results by combining and advancing recent lines of research in interior point methods (IPMs) and dynamic graph algorithms. First, we simplify and improve the IPM of [v.d.Brand-Lee-Sidford-Song 2020], providing a general primal-dual IPM framework and new sampling-based techniques for handling infeasibility induced by approximate linear system solvers. Second, we provide a simple sublinear-time algorithm for detecting and sampling high-energy edges in electric flows on expanders and show that when combined with recent advances in dynamic expander decompositions, this yields efficient data structures for maintaining the iterates of both [v.d.Brand et al.] and our new IPMs. Combining this general machinery yields a simpler $ ilde O(n \sqrt{m})$ time algorithm for matching based on the logarithmic barrier function, and our state-of-the-art $ ilde O(m+n^{1.5})$ time algorithm for matching based on the [Lee-Sidford 2014] barrier (as regularized in [v.d.Brand et al.]).

研究の動機と目的

• 最大基数二部マッチングにおける長年の $O(m\sqrt{n})$ および $\widetilde{O}(n^\omega)$ 時間の壁を打ち破ること。
• $m = \Omega(n^{1.5})$ である中程度に密集したグラフに対して、ほぼ線形時間の複雑性を達成するより速いアルゴリズムを開発すること。
• 組合せ最適化における内点法と動的グラフアルゴリズムの最近の進展を統合し、前進させること。
• トランスシップメント、負の重み付き最短経路、最適輸送といった関連問題へアルゴリズムを拡張すること。
• 近似線形ソルバからの不実行性を効果的に扱える一般化されたプライマル・デュアル内点法フレームワークを提供すること。

提案手法

• 近似線形方程式系ソルバから生じる不実行性を管理するための、新しいサンプリングに基づく技術を導入した一般化されたプライマル・デュアル内点法（IPM）フレームワークを提唱する。
• 拡張子グラフ上の電流フローにおける高エネルギー辺の検出およびサンプリングのための部分線形時間アルゴリズムを設計する。
• 動的拡張子分解の最近の進展を統合し、IPM反復のための効率的なデータ構造を維持する。
• 新しいIPMフレームワークを対数バリアおよびLee-Sidfordバリアの両方の設定に適用し、それぞれ $\widetilde{O}(n\sqrt{m})$ および $\widetilde{O}(m + n^{1.5})$ の実行時間を得る。
• 数値的安定性とIPM反復の効率性を保証するため、リバーブスコアの維持と退化に配慮した更新を用いる。
• マッチングからトランスシップメント、最短経路、最適輸送への還元を活用し、アルゴリズムの適用範囲を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中程度に密集したグラフ（$m = \Omega(n^{1.5})$）における最大基数二部マッチングに対して、ほぼ線形時間のアルゴリズムを達成できるか？
• RQ2 グラフ最適化の文脈で不正確な線形方程式ソルバを用いる場合、内点法をどのようにして頑健かつ効率的にすることができるか？
• RQ3 動的拡張子分解と電流フローのサンプリングを効果的に組み合わせ、IPM反復を効率的に維持できるか？
• RQ4 同じコアアルゴリズムを用いてトランスシップメントや負の重み付き最短経路を解く際の最小限の実行時間オーバーヘッドは何か？
• RQ5 このフレームワークを、加法的近似保証を持つ整数および分数最適化問題を扱えるように一般化できるか？

主な発見

• この論文は、中程度に密集したグラフにおける最大基数二部マッチングに対して、$\widetilde{O}(m + n^{1.5})$ 時間のアルゴリズムを達成し、数十年来の $O(m\sqrt{n})$ および $\widetilde{O}(n^\omega)$ の境界に対する初めての改善をもたらした。
• $m = n^{9/8 + \delta}$（任意の $\delta > 0$）であるグラフに対して、Madry や Liu-Sidford の最近の研究における $\widetilde{O}(m^{4/3+o(1)})$ 実行時間よりも改善した。
• 最小コスト完全 $b$-マッチング、トランスシップメント、負の重み付き最短経路、最小平均サイクル問題の正確解に対して、$\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2 W)$ 時間で解けるように拡張された。
• 加法的誤差 $\epsilon$ を許容する分数問題に対しては、$\widetilde{O}((m + n^{1.5})\log^2(W/\epsilon))$ 時間で実行され、最適輸送および関連問題の効率的近似が可能になる。
• 近似ソルバからの不実行性を効果的に扱える新しいサンプリング技術を備えた一般化されたプライマル・デュアルIPMフレームワークを提供し、収束を高速化し、頑健性を確保した。
• 対数バリアを用いることで、$\widetilde{O}(n\sqrt{m})$ 時間のより単純な解法が得られ、新規IPM機構の多様性を示した。