[論文レビュー] Fully-Dynamic Graph Sparsifiers Against an Adaptive Adversary

Aaron Bernstein, Jan van den Brand+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 78被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、適応的敵対者に対して効率的な完全動的グラフスパースファイアを初めて提示する。多対数時間の平均更新時間で、多対数(n)-スパーンナ、O(k)-近似カットスパースファイア、多対数(n)-近似スペクトルスパースファイアを達成し、すべてがほぼ線形サイズである。この手法は2つの新規技術に依存する：エッジの削除に対してほぼ均一な次数の拡張子を保つブラックボックス還元、および適応的敵対者による影響を受けてもグラフ構造を維持するための能動的再サンプリング。これらにより、動的グラフアルゴリズム分野の未解決問題が解決され、最小コストフローおよび関連問題に対するほぼ線形時間アルゴリズムが可能になる。

ABSTRACT

Designing dynamic graph algorithms against an adaptive adversary is a major goal in the field of dynamic graph algorithms. While a few such algorithms are known for spanning trees, matchings, and single-source shortest paths, very little was known for an important primitive like graph sparsifiers. The challenge is how to approximately preserve so much information about the graph (e.g., all-pairs distances and all cuts) without revealing the algorithms' underlying randomness to the adaptive adversary. In this paper we present the first non-trivial efficient adaptive algorithms for maintaining spanners and cut sparisifers. These algorithms in turn imply improvements over existing algorithms for other problems. Our first algorithm maintains a polylog$(n)$-spanner of size $ ilde O(n)$ in polylog$(n)$ amortized update time. The second algorithm maintains an $O(k)$-approximate cut sparsifier of size $ ilde O(n)$ in $ ilde O(n^{1/k})$ amortized update time, for any $k\ge1$, which is polylog$(n)$ time when $k=\log(n)$. The third algorithm maintains a polylog$(n)$-approximate spectral sparsifier in polylog$(n)$ amortized update time. The amortized update time of both algorithms can be made worst-case by paying some sub-polynomial factors. Prior to our result, there were near-optimal algorithms against oblivious adversaries (e.g. Baswana et al. [TALG'12] and Abraham et al. [FOCS'16]), but the only non-trivial adaptive dynamic algorithm requires $O(n)$ amortized update time to maintain $3$- and $5$-spanner of size $O(n^{1+1/2})$ and $O(n^{1+1/3})$, respectively [Ausiello et al. ESA'05]. Our results are based on two novel techniques. The first technique, is a generic black-box reduction that allows us to assume that the graph undergoes only edge deletions and, more importantly, remains an expander with almost-uniform degree. The second technique we call proactive resampling. [...]

研究の動機と目的

• 適応的敵対者（アルゴリズムの確率的ランダムネスを観測し、それに応じて反応できる）に対しても正しく保たれる最初の効率的動的グラフスパースファイアを設計すること。
• 動的グラフアルゴリズム分野の未解決問題を解決すること。具体的には、適応的スパーンナおよびカットスパースファイアの構築、および単一始点最短経路の減少的バージョンの改善。
• 敵対的エッジ更新に対しても、グラフ構造を維持する技術を開発すること。特に、敵対者がアルゴリズムが使用する乱数ビットを制御する場合でも有効である。
• 動的スパースファイアをサブルーチンとして用いて、静的問題（最小コストユニット容量フロー、混雑度最小化など）に対してほぼ線形時間アルゴリズムを実現すること。
• 従来の動的スペクトルスパースファイアに関する結果を非平均化し、適応的設定に拡張すること。

提案手法

• エッジの削除に対してほぼ均一な次数の拡張子を保つブラックボックス還元を導入し、主要な構造的性質を維持する。
• 敵対的適応性に対しても、望ましい性質を維持できるように、継続的にグラフの一部を再サンプリングする能動的再サンプリング技術を開発する。
• 次数の均一性制約を課した動的拡張子分解を用いて、エッジ削除の下でも拡張子を維持し、効率的なスパースファイアの維持を可能にする。
• 還元を適用し、下位のグラフが低径路長かつ高拡張性を持つ構造のまま保たれるようにすることで、動的グラフにおけるスパースファイアの維持を実現する。
• ランダムサンプリングとエッジ重み付けに基づくスペクトルおよびカットスパースファイア構築法を用い、能動的再サンプリングによる適応的レジリエンスを実現する。
• 最悪計算時間枠組みを用いて結果を非平均化し、多項式的でないオーバーヘッドのみを負担する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的敵対者に対して、サイズ Õ(n) の多対数(n)-スパーンナを多対数(n) の平均更新時間で維持できるか？
• RQ2 適応的更新下で、サイズ Õ(n) の O(k)-近似カットスパースファイアを Õ(n^{1/k}) の平均更新時間で維持できるか？
• RQ3 適応的敵対者モデル下で、多対数(n)-近似スペクトルスパースファイアを多対数(n) の平均更新時間で維持できるか？
• RQ4 能動的再サンプリングは、乱数の制御を敵対者が行う状況でも、グラフ構造を維持するために利用可能か？
• RQ5 動的スパースファイアは、最小コストフローおよび混雑度最小化といった静的問題に対して、ほぼ線形時間アルゴリズムを実現するために利用可能か？

主な発見

• 本論文は、適応的敵対者に対して多対数(n) の平均更新時間で動作する完全動的スパーンナアルゴリズムを初めて提示し、Ahmed ら（2019）が提起した未解決問題を解決する。
• 適応的更新下で、サイズ Õ(n) の O(k)-近似カットスパースファイアを Õ(n^{1/k}) の平均更新時間で維持可能であり、従来の結果を改善する。
• 適応的敵対者モデル下でも、多対数(n) の平均更新時間で多対数(n)-近似スペクトルスパースファイアを維持可能であり、敵対者がアルゴリズムの乱数ビットを制御しても成立する。
• 能動的再サンプリング技術により、敵対的適応性に対しても望ましいグラフ構造（例：拡張子）が維持され、依存性の生成下でも非自明な解析が可能である。
• 結果として、最小コストユニット容量フローの近似に対してほぼ2乗時間のアルゴリズムが得られ、従来の還元手法を改善する。
• Abraham ら（FOCS’16）の動的スペクトルスパースファイアに関する結果を非平均化し、多項式的でないオーバーヘッドのみを負担する最悪計算時間の更新時間で達成する。