[論文レビュー] Bipartite Rainbow Numbers of Matchings

Xueliang Li, Jianhua Tu+1 more|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、すべての $ m \geq n \geq 1 $ および $ k \geq 1 $ に対して、正確な二部グラフレインボーナンバー $ rb(K_{m,n}, kK_2) $ を決定し、$ m > k $ の場合、$ K_{m,n} $ におけるサイズ $ k $ のレインボーマッチングを保証する最小の色数が $ m(k-2) + 2 $ であることを示している。それ以外の場合は $ k $ である。この結果は、シュレーマーの完全グラフにおけるレインボーマッチングに関する先行研究を、極値グラフ理論と構造的ケース解析を用いて二部グラフ設定に拡張したものである。

ABSTRACT

Given two graphs $G$ and $H$, let $f(G,H)$ denote the maximum number $c$ for which there is a way to color the edges of $G$ with $c$ colors such that every subgraph $H$ of $G$ has at least two edges of the same color. Equivalently, any edge-coloring of $G$ with at least $rb(G,H)=f(G,H)+1$ colors contains a rainbow copy of $H$, where a rainbow subgraph of an edge-colored graph is such that no two edges of it have the same color. The number $rb(G,H)$ is called the {\it rainbow number of $H$ with respect to $G$}, and simply called the {\it bipartite rainbow number of $H$} if $G$ is the complete bipartite graph $K_{m,n}$. Erdős, Simonovits and Sós showed that $rb(K_n,K_3)=n$. In 2004, Schiermeyer determined the rainbow numbers $rb(K_n,K_k)$ for all $n\geq k\geq 4$, and the rainbow numbers $rb(K_n,kK_2)$ for all $k\geq 2$ and $n\geq 3k+3$. In this paper we will determine the rainbow numbers $rb(K_{m,n},kK_2)$ for all $k\geq 1$.

研究の動機と目的

• 完全グラフにおけるレインボーナンバーのシュレーマーの結果を二部グラフ設定に拡張すること。
• すべての $ m \geq n \geq 1 $ および $ k \geq 1 $ に対して、二部グラフレインボーナンバー $ rb(K_{m,n}, kK_2) $ の正確な値を特定すること。
• $ K_{m,n} $ におけるサイズ $ k $ のレインボーマッチングを回避する極値の辺彩色を特徴づけること。
• 極値グラフ理論と構造的ケース解析を用いて、完全二部グラフにおけるマッチングのレインボーナンバーの完全分類を確立すること。

提案手法

• 極値グラフ理論を用いて、$ (k-1)K_2 $ の部分グラフを含まない二部グラフにおける最大辺数 $ ext(m,n,(k-1)K_2) $ を特定する。
• 補題 2.1 を通じてハルの結婚定理を応用し、与えられた欠損度をもつ二部グラフにおける最大マッチングのサイズを評価する。
• 最大マッチングおよび近傍集合の構造に基づくケース解析を用いて、レインボーマッチング $ kK_2 $ を回避する彩色における辺数の上限を求める。
• 重要な辺に色を固定し、帰納法を用いて極値構成におけるレインボーマッチングの存在を強制する。
• 特殊なグラフ構造、たとえば $ SG_1 $（$ K_{m-1,m-1} $ に懸垂辺を追加したもの）および $ SG_2 $（$ K_{m-1,m-1} $ に孤立頂点を追加したもの）を極値ケースとして考察する。
• 背理法を用いる：レインボーマッチング $ kK_2 $ が存在しないと仮定すると、辺数の上限が導かれ、その結果としてこのようなマッチングの存在が強制される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ m \geq n \geq 1 $ および $ k \geq 1 $ に対して、二部グラフレインボーナンバー $ rb(K_{m,n}, kK_2) $ の正確な値は何か？
• RQ2 パラメータ $ m $、$ n $、$ k $ に依存して、$ K_{m,n} $ におけるマッチングのレインボーナンバーはどのように変化するか？
• RQ3 サイズ $ k $ のレインボーマッチングを回避する $ K_{m,n} $ の極値の辺彩色は何か？
• RQ4 すべての $ m \geq n $ に対して、$ K_{m,n} $ における $ kK_2 $ のレインボーナンバーは一様に決定可能か、それとも相対的なサイズに依存するか？

主な発見

• $ m > k $ の場合、二部グラフレインボーナンバー $ rb(K_{m,n}, kK_2) $ は正確に $ m(k-2) + 2 $ である。
• $ m = k $ の場合、レインボーナンバーは $ k $ であり、これは $ m = n = k $ の場合にのみ達成される。
• $ m \geq 3 $ かつ $ n \geq 2 $ の場合、$ rb(K_{m,n}, 2K_2) = 2 $ であるが、$ rb(K_{2,2}, 2K_2) = 3 $ であり、$ m=n=2 $ の場合にわずかな例外が存在する。
• $ ext(m,n,(k-1)K_2) $ を達成する極値グラフは $ K_{m,k-1} $ であり、この構造はレインボーナンバーの上限を求める上で重要である。
• $ K_{m,n} $ の辺彩色に $ m(k-2) + 2 $ よりも多くの色が使われている場合、必ずサイズ $ k $ のレインボーマッチングが存在する。この上限はタイトである。
• 証明により、$ m(k-2)+2 $ の辺数に達するすべての極値彩色は $ SG_1 $ もしくは $ SG_2 $ と同型であり、そのすべてのケースでレインボーマッチング $ kK_2 $ は避けがたいことが示された。