[論文レビュー] Birational geometry for d-critical loci and wall-crossing in Calabi-Yau 3-folds

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|May 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau 3-fold 上の安定対象のモジュライ空間に d-臨界的ブラシナル幾何を導入し、壁越え現象を記述するための仮想ブラシナル写像（d-臨界的フリップやフロップなど）を定義する。壁越えのダイアグラムが、Pandharipande-Thomas 安定ペアのモジュライ空間において d-臨界的最小モデルプログラムを形成することを示し、d-臨界的局所で仮想正則ラインバンドルに対して、正則バンドルの不等式の類似が成り立つことを示す。

ABSTRACT

The notion of d-critical loci was introduced by Joyce in order to give classical shadows of $(-1)$-shifted symplectic derived schemes. In this paper, we discuss birational geometry for d-critical loci, by introducing notions such as `d-critical flips', `d-critical flops', etc. They are not birational maps of the underlying spaces, but rather should be understood as virtual birational maps. We show that several wall-crossing phenomena of moduli spaces of stable objects on Calabi-Yau 3-folds are described in terms of d-critical birational geometry. Among them, we show that wall-crossing diagrams of Pandharipande-Thomas (PT) stable pair moduli spaces, which are relevant in showing the rationality of PT generating series, form a d-critical minimal model program.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau 3-fold 上の安定対象のモジュライ空間に古典的ブラシナル幾何を適用する際の制限を克服すること。特に、深刻な特異性を持つ場合が多いことへの対処。
• モジュライ空間が滑らかでなかったり、非減少的だったり、非同次元的であったりする場合でも適用可能な仮想ブラシナル幾何の枠組み（d-臨界的フリップ、フロップなど）を構築すること。
• ブラシナル幾何における正則バンドル不等式の d-臨界的類似を、d-臨界的局所における仮想正則ラインバンドルを用いて確立すること。
• Pandharipande-Thomas 安定ペアのモジュライ空間における壁越え現象が、この d-臨界的ブラシナル幾何の枠組みに適合することを示すこと。
• この枠組みを用いて、PT の生成関数の有理型を証明し、壁越え公式を通じて DT/PT 対応を検証すること。

提案手法

• d-臨界的局所を、局所的臨界集合のデータを符号化する $ s \in \Gamma(M, \mathcal{S}_M^0) $ を持つスキームまたは解析的空間として定義する。
• d-臨界的フリップやフロップを、局所モデルが関数の臨界集合に同型であるような写像の図式として定義し、それらの下位写像が滑らかな空間の実際のフリップまたはフロップであるようにする。
• d-臨界的局所における仮想正則ラインバンドルの概念を用いて、$ M^{+} \geq_K M^{-} $ の d-臨界的類似を定式化する。
• Calabi-Yau 3-fold 上の1次元層および安定ペアのモジュライ空間にこの枠組みを適用し、それらの壁越えダイアグラムが d-臨界的フリップ／フロップ条件を満たすことを示す。
• DT 型不変量の壁越え公式を用い、特に $ L_{n,\beta}^t $ 不変量が解析的壁越えおよび Behrend 関数の積分を通じて PT 不変量と関連することを示す。
• 表面 $ S $ の $ D^b(S) $ 内の対象の対称的 Ext-クワッドの性質を用いて、付録で d-臨界的一般化フロップを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau 3-fold 上の安定対象のモジュライ空間における壁越え現象は、深刻な特異性を持つにもかかわらず、仮想ブラシナル幾何の枠組みで記述可能だろうか？
• RQ2 d-臨界的フリップやフロップは、非穏やかな特異性を持つモジュライ空間に対して、古典的ブラシナル幾何の一貫した一般化を提供するだろうか？
• RQ3 d-臨界的局所に対して、$ M^{+} \geq_K M^{-} $ の d-臨界的類似の正則バンドル不等式は成立するだろうか？
• RQ4 d-臨界的ブラシナル幾何の枠組みを用いて、Pandharipande-Thomas 不変量の生成関数の有理型を証明できるだろうか？
• RQ5 DT 型不変量の壁越え公式は、d-臨界的フリップおよび DT/PT 対応とどのように関係するだろうか？

主な発見

• Calabi-Yau 3-fold 上の Pandharipande-Thomas 安定ペアのモジュライ空間における壁越えダイアグラムは、d-臨界的最小モデルプログラムを形成する。
• d-臨界的フリップ／フロップ構造は、関数の臨界集合に局所的に同型であることで定義され、それらの下位写像は実際に滑らかな多様体のフリップまたはフロップである。
• d-臨界的フリップおよびフロップに対して、仮想正則ラインバンドル不等式 $ (M^+, s^+) \geq_K (M^-, s^-) $ が成り立ち、古典的不等式を一般化する。
• PT 不変量の積分展開公式 (C.1) は、d-臨界的枠組みにおける壁越えを通じて導出され、生成関数の有理型が証明される。
• DT/PT 対応は、導来カテゴリの壁越えを用いて検証され、$ L_{n,\beta} $ 不変量は $ t \gg 0 $ における PT 不変量と $ t \ll 0 $ における不変量の間を補間する。
• この枠組みは、1次元層および安定ペアのモジュライ空間に適用可能であり、特異的または非減少的であっても、それらの壁越えダイアグラムが d-臨界的フロップまたはフリップであることが示される。