[論文レビュー] Moduli of Bridgeland semistable objects on 3-folds and Donaldson-Thomas invariants

Dulip Piyaratne, Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ボゴモロフ・ギーセンカー（BG）不等式予想が成り立つ限り、滑らかで射影的な3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象のモジュライスタックが、擬固有で有限型の代数的スタックであることを確立する。BG不等式の任意の非常に弱い安定性条件における同値形を証明することで、カルラヤ3次元多様体上でブリジゲランド半安定対象を数える well-behaved なドナルドソン＝トーマス不変量を構成した。これはアーベル3次元多様体のエタール商を含む。

ABSTRACT

We show that the moduli stacks of Bridgeland semistable objects on smooth projective 3-folds are proper algebraic stacks of finite type, if they satisfy the Bogomolov-Gieseker (BG for short) inequality conjecture proposed by Bayer, Macrì and the second author. The key ingredients are the equivalent form of the BG inequality conjecture and its generalization to arbitrary very weak stability conditions. This result is applied to define Donaldson-Thomas invariants counting Bridgeland semistable objects on smooth projective Calabi-Yau 3-folds satisfying the BG inequality conjecture, for example on étale quotients of abelian 3-folds.

研究の動機と目的

• 3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象のモジュライスタックの擬固有性および有限型性に関する予想1.1(ii)を解決すること。
• カルラヤ3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象を数えるドナルドソン＝トーマス不変量を定義する基盤を確立すること。
• 任意の非常に弱い安定性条件の下で、BG不等式予想が一般化された安定性不等式と同値であることを証明すること。
• Lie代数的およびモチビック技法を用いて、DT不変量の構成をブリジゲランド半安定対象へと拡張すること。

提案手法

• BG不等式予想が3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象のモジュライスタックの擬固有性および有限型性を示すことを証明する。
• 任意の非常に弱い安定性条件におけるBG不等式を一般化し、Bとωが比例しない場合の同値性を示す。
• リーマン・ロッホ定理とオイラー対相乗を用いて、t-構造の心におけるホール代数にLie代数構造を定義する。
• ホール代数からチャーン類の生成するLie代数へのLie代数準同型を介してDT不変量を構成する。
• 中心的作用の引数が等しいハーディング＝ナラシマン因子の和を用いて不変量DTσ(v)を定義し、サポート性により有限性を保証する。
• σが良い安定性条件でない場合、良い安定性条件への摂動を用いてDT不変量の定義を拡張し、独立性および有理型を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BG不等式予想が成り立つならば、滑らかで射影的な3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象のモジュライスタックは、擬固有で有限型の代数的スタックとなるか？
• RQ2 任意の非常に弱い安定性条件の下で、BG不等式予想は一般化された安定性不等式と同値か？
• RQ3 BG不等式予想を満たすカルラヤ3次元多様体上でのブリジゲランド半安定対象を数えるドナルドソン＝トーマス不変量は定義可能か？
• RQ4 安定性条件を摂動したとき、壁を越える際のDT不変量の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 ブリジゲランド安定性の文脈において、半安定対象のホール代数の背後にある正確な代数的構造は何か？

主な発見

• BG不等式予想が成り立つ限り、滑らかで射投影的な3次元多様体上のブリジゲランド半安定対象のモジュライスタックは、擬固有で有限型である。
• Bとωが比例しない場合でさえ、BG不等式予想はティルト半安定対象に対する一般化された不等式と同値である。
• BG不等式予想を満たすカルラヤ3次元多様体上では、ブリジゲランド半安定対象を数えるドナルドソン＝トーマス不変量はwell-definedである。
• 不変量DTσ(v)は有理数であり、固定されたチャーン類vを持つσ-半安定対象を実質的に数える。
• ホール代数の技法によるDT不変量の構成により、σが良い安定性条件でない場合の摂動の選び方に対して不変量が独立になることが保証される。
• 不変量は有理型および壁を越える不変性といった期待される性質を満たしており、弦理論および双有理幾何学からの期待に応えている。