[論文レビュー] Birationally rigid complete intersections of codimension two

Daniel Evans, Александр Валентинович Пухликов|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素射影空間内のcodimension 2の一般完全交差に対して双有理的超剛性を確立し、パラメータ空間における非剛性Fano多様体の集合のcodimensionが $ M \geq 13 $ に対して $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$ 以上であることを証明する。この結果は、局所的およびグローバルな正則性条件を用いて特異点を制御し、双正則剛性法を適用することで、特異点が穏やかな完全交差へ超剛性を拡張する。

ABSTRACT

We prove that in the parameter space of $M$-dimensional Fano complete intersections of index one and codimension two the locus of varieties that are not birationally superrigid has codimension at least $\frac12 (M-9)(M-10)-1$.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^{M+2}$ 内のindex 1のcodimension 2 Fano完全交差に対して、双有理的超剛性を確立すること。
• このような多様体が双有理的超剛性でない場合のパラメータ空間内でのlocusのcodimensionを推定すること。
• 制御された特異点を有する完全交差へ超剛性の結果を拡張すること、特に二次的および二重二次的特異点を含むこと。
• 因子的性、終極的特異点、および双有理的剛性を保証する明示的な局所的およびグローバル正則性条件を提供すること。

提案手法

• 特定の正則性条件を満たすペア $(f_1, f_2)$ のなすZariski開部分集合 $\mathcal{P}_{\text{reg}} \subset \mathcal{P} = |\mathcal{O}(d_1)| \times |\mathcal{O}(d_2)|$ を定義すること。
• 完全交差 $V = V(f_1, f_2)$ に対する帰納的性、非退化性、因子的性、終極的特異点を保証するための条件 (R0.1)–(R3.1) を課すこと。
• 最大特異点の方法および可動線形系を用いて双有理写像を解析し、超剛性を証明すること。
• ヤコビ行列の行列式的条件および二次形式のランク条件を用いてcodimension推定を実行すること。
• 低ランクの二次形式および可約／局所的に非退化な切断のcodimensionに関する既知の結果を用いて、悪条件のlocusのcodimensionを推定すること。
• すべての正則性条件からのcodimensionの上限を組み合わせ、グローバルな下界 $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$ を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 codimension 2 Fano完全交差のパラメータ空間内で、双有理的超剛性でない多様体のlocusのcodimensionは何か？
• RQ2 二次的および二重二次的特異点といった穏やかな特異点は、index 1の完全交差における双有理的剛性にどのように影響するか？
• RQ3 滑らかでない場合を除き、制御された特異点を有する一般完全交差に対し、双有理的超剛性を確立できるか？
• RQ4 明示的な正則性条件として、因子的性、終極的特異点、および超剛性を保証するものは何か？

主な発見

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^{M+2}$ 内のcodimension 2 Fano完全交差で、双有理的超剛性でない多様体の集合は、$ M \geq 13 $ のときパラメータ空間内でcodimensionが $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$ 以上である。
• 一般の $(f_1, f_2) \in \mathcal{P}_{\text{reg}}$ に対して、多様体 $V = V(f_1, f_2)$ は因子的であり、終極的特異点を持ち、index 1で次元 $M$ の原始的Fano多様体である。
• 多様体 $V$ は正次元の有理的連結な基底への有理的支配写像をもたないため、非有理的である。
• $V$ の双有理自己写像群は、その自己同型群と一致する、すなわち $\text{Bir } V = \text{Aut } V$ であり、これは超剛性の特徴的性質である。
• 二次特異点ランク条件 (R2.1) を満たさない集合のcodimensionは $\binom{M-5}{2}+1$ 以上である。
• 二重二次特異点条件 (R3.1) を満たさない集合のcodimensionは $\binom{M-9}{2}-1$ 以上であり、$ M \geq 13 $ のときこれが上限を支配する。