[論文レビュー] Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization

Erwan Faou, Benoît Grébert+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2008

Numerical methods for differential equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限次元のバーフォルムを用いて、半線形ハミルトニアンPDEに対する分割法の長時間安定性を確立する。初期データが$L^2$で小さい場合、空間離散化パラメータ$K$が大きく、ステップサイズに関する非共鳴条件が$K$とは独立に成り立つ限り、数値解の作用（振動エネルギー）と$L^2$ノルムが任意に長い時間にわたりほぼ保存されることを証明する。結果は一般の非共鳴条件のもとで成り立ち、非線形シュレーディンガー方程式および波動方程式に適用可能である。

ABSTRACT

We consider {\em discretized} Hamiltonian PDEs associated with a Hamiltonian function that can be split into a linear unbounded operator and a regular nonlinear part. We consider splitting methods associated with this decomposition. Using a finite dimensional Birkhoff normal form result, we show the almost preservation of the {\em actions} of the numerical solution associated with the splitting method over arbitrary long time, provided the Sobolev norms of the initial data is small enough, and for asymptotically large level of space approximation. This result holds under {\em generic} non resonance conditions on the frequencies of the linear operator and on the step size. We apply this results to nonlinear Schrödinger equations as well as the nonlinear wave equation.}

研究の動機と目的

• 有限空間離散化を伴う半線形ハミルトニアンPDEに適用された分割法の長時間挙動を分析すること。
• 一般の非共鳴条件のもとで、長時間にわたり作用と$L^2$ノルムがほぼ保存されることを確立すること。
• 古典的な有限次元正準形技法を、空間離散化パラメータ$K$が漸近的に大きい領域に拡張すること。
• ステップサイズに関する非共鳴条件が$K$に依存しないことを示し、元の無限次元問題の性質を保ったままにする。
• ハミルトニアンPDEの幾何的積分における分割スキームの長時間安定性の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアンにおける非共鳴項を$ r $次まで打ち消すために、有限次元バーフォルム変換を用いる。
• 時間に依存する生成関数$\chi(\lambda)$を用いて、分割スキームの流れを正準形に共役化する。
• ネウマン型級数を用いて、正準形係数$Z_{\boldsymbol{j}}$および生成関数$\chi_{\boldsymbol{j}}$を再帰的に解く手順を実装する。
• 周波数$\Omega(\boldsymbol{j})$とステップサイズ$h$の間に、空間離散化パラメータ$K$とは独立した非共鳴条件を課し、変換の有界性を保証する。
• ソボレフ型ノルムにおける推定により剰余項$R(\lambda)$を制御し、$\|z\|^{r+1}$のオーダーで、$K^\beta$に依存する境界を持つことを示す。
• バナッハ空間における形式的べき級数の正準形理論の抽象的枠組みを用いて、初期データが小さい場合の収束性と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間離散化$K$が大きくても有限な場合、半線形ハミルトニアンPDEに対する分割法が、任意に長い時間にわたり解の作用を保存できるか。
• RQ2 ステップサイズ$h$および線形作用素の周波数にどのような条件下で、数値解が長時間にわたり安定するか。
• RQ3 離散化パラメータ$K$の依存性が、バーフォルム理論の文脈における分割スキームの長時間挙動にどのように影響するか。
• RQ4 ステップサイズに関する非共鳴条件を$K$に依存させずに維持しつつ、長時間安定性を保てるか。
• RQ5 これらの条件下で、数値解の$L^2$ノルムが長時間にわたり小さく保たれる程度はどの程度か。

主な発見

• 線形作用素$H_0^{(K)}$の各固有モードに関連する作用は、$t \leq C_r \varepsilon^{-r}$の時間範囲でほぼ保存される。ここで$\varepsilon$は初期$L^2$ノルムである。
• $K \leq \varepsilon^{-\sigma}$（$r$に依存する正の$\sigma$）を満たす限り、数値解の$L^2$ノルムは同じ時間範囲で$K$に関して一様に小さく保たれる。
• 正準形展開における剰余項$R(\lambda)$は、$\|z\| \leq c_0 K^{-\beta}$の範囲で$\|X_{R(\lambda)}(z)\| \leq C_0 K^\beta \|z\|^r$を満たす。ここで$\beta > 1$は$r$および空間次元$d$に依存する。
• $\chi$および正準形$Z$は、$\mathcal{T}_r$ノルムにおいて$C_0 K^\beta$で有界であり、$K \to \infty$の極限でも変換が適切に振る舞うことが保証される。
• ステップサイズに関する非共鳴条件は$K$に依存せず、$K \to \infty$の漸近的極限を取る際にも長時間安定性の性質が変わらない。
• 結果は、トーラス上での非線形シュレーディンガー方程式および円周上での非線形波動方程式に、一般の非共鳴仮定のもとで適用可能である。