[論文レビュー] Birkhoff's invariant and Thorne's Hoop Conjecture

G. W. Gibbons|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Birkhoffの不変量$\beta$を用いて、Thorneのホープ予想を鋭い形で定式化し、外側の極小捕獲表面に対して$\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$が成り立つことを示している。この予想は、崩壊する光線殻に対して証明されており、Kerr-Newmanブラックホールなどの正確解によって裏付けられており、Penrose不等式および等周不等式を通じて、幾何的不変量と質量の上限を結びつけている。

ABSTRACT

I propose a sharp form of Thorne's hoop conjecture which relates Birkhoff's invariant $β$ for an outermost apparent horizon to its $ADM$ mass, $ β\le 4 πM_{ADM}$. I prove the conjecture in the case of collapsing null shells and provide further evidence from exact rotating black hole solutions. Since $β$ is bounded below by the length $l$ of the shortest non-trivial geodesic lying in the apparent horizon, the conjecture implies $l \le 4 πM_{ADM}$. The Penrose conjecture, $\sqrt{πA} \le 4 πM_{ADM}$, and Pu's theorem imply this latter consequence for horizons admitting an antipodal isometry. Quite generally, Penrose's inequality and Berger's isembolic inequality, $\sqrt{πA} \ge {2\over\sqrtπ} i$, where $i$ is the injectivity radius, imply $ 4c \le 2 i \le 4 πM_{ADM}$, where $c$ is the convexity radius.

研究の動機と目的

• Thorneの曖昧なホープ予想を、幾何的不変量を含む数学的に厳密な不等式に精緻化すること。
• ADM質量と外側の見かけの視界のBirkhoff不変量$\beta$との間の関係を確立すること。
• Kerr-Newmanブラックホールなどの正確解と幾何的不等式を通じて、予想に対する証拠を提供すること。
• 捕獲表面における最短閉じた測地線の長さおよび、単連結半径・凸性半径の意味を検討すること。

提案手法

• 2次元球面上の任意の関数$f$について、$f^{-1}(c)$のレベル集合の最大長さの下界としてBirkhoffの不変量$\beta(g)$を定義する。
• Birkhoffの定理を用いて、$\beta(g)$が視界表面における閉じた測地線の長さに等しいことを示す。
• Penrose不等式$\sqrt{\pi A} \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$とPuの定理を適用し、測地線長の上限を導出する。
• Bergerの等周不等式$\sqrt{\pi A} \geq 2i(g)$と関係$l(g) \geq 2c(g)$を用いて、$\beta$と単連結半径・凸性半径を結びつける。
• Kerr-Newmanおよび関連するブラックホール視界の計量を解析し、$\beta$を明示的に計算し、不等式の妥当性を検証する。
• $S^n$の位相を持つ高次元視界に一般化し、$S^{n-1}$によるfoliationと体積最小化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thorneのホープ予想は、Birkhoff不変量を含む明確な幾何的不等式として定式化可能か？
• RQ2 $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$は、支配的エネルギー条件を満たす時空におけるすべての外側の極小捕獲表面に対して成り立つか？
• RQ3 ブラックホール視界における最短閉じた測地線長$l(g)$、単連結半径$i(g)$、凸性半径$c(g)$の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 Puの不等式とBergerの不等式は、Penrose不等式および提案されたホープ予想とどのように関係するか？
• RQ5 非球面的位相を持つ高次元ブラックホール視界へ、この予想を拡張可能か？

主な発見

• 崩壊する光線殻に対して、予想$\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$が証明され、視界形成の必要条件が確立された。
• Kerr-Newmanブラックホールでは、$\beta = l_e = 2\pi(2M - Q^2/r_+) \leq 4\pi M$が成り立ち、この正確解において予想が確認された。
• $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$から直接的に$l(g) \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$が導かれる。ここで$l(g)$は最短閉じた測地線長を表す。
• Puの定理とPenrose不等式を用いることで、反対点等長写像をもつ視界に対して$2c(g) \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$が成り立つことが示された。
• Bergerの等周不等式より$2i(g) \geq 4c(g)$が得られ、Penrose不等式と組み合わせることで、$4\pi M_{\text{ADM}} \geq 2i(g) \geq 4c(g)$が導かれた。
• この枠組みは高次元に一般化可能であり、$\beta$は$n$次元視界における$S^{n-1}$-foliationの最大$(n-1)$-体積の下界として定義される。