[論文レビュー] Bisimulations for intuitionistic temporal logics

Philippe Balbiani, Joseph Boudou+2 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 14, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、直感的時間論理 ITL^e に 'until' (U) と 'release' (R) なモダリティを追加することで、その拡張をなす双対関係を導入する。また、'eventually' (◇) と 'henceforth' (□) の演算子が他のものと相互に定義可能でないことを示している——具体的には、拡張モデル上では ◇ が □ と U から定義可能でないし、here-and-there モデルのより小さいクラスでさえ、□ が U と R から定義可能でない。これらは、双対に基づく定義可能性の証明によって新たに確立されたものである。

ABSTRACT

We introduce bisimulations for the logic $ITL^e$ with `next', `until' and `release', an intuitionistic temporal logic based on structures equipped with a partial order used to interpret intuitionistic implication and a monotone function used to interpret the temporal modalities. Our main results are that `eventually', which is definable in terms of `until', cannot be defined in terms of `next' and `henceforth', and similarly that `henceforth', definable in terms of `release', cannot be defined in terms of `next' and `until', even over the smaller class of here-and-there models.

研究の動機と目的

• ITL^e に 'next'、'until'、'release' モダリティを含む双対理論を構築すること。
• 時間的演算子の定義可能性を調査する——特に、◇ と □ が他の演算子から定義可能かどうかを検討すること。
• 双対不変性を用いた非定義可能性の証明により、ITL^e の表現的限界を明確にすること。
• ITL^e の決定可能性に関する先行研究を拡張し、モダリティの定義的独立性を調査すること。

提案手法

• ITL^e モデルに対して、'next'、'until'、'release'、'eventually'、'henceforth' モダリティを含む論理式を保存する、新しい双対のクラスを導入する。
• 有界 □-双対と U/R-双対を定義し、モデル変換における不変性を分析する。
• 具体的な反例モデル（例えば、有限の拡張モデルや here-and-there モデル）を構築し、非定義可能性を示す。
• 論理的同値性と双対における真理保存性を用いて、特定の論理式が部分言語では表現できないことを示す。
• 双対な点が同じ論理式を満たすという事実を活用し、制限された言語内のいかなる論理式でも ◇ や □ を捉えることはできないと証明する。
• 結果を応用し、◇ が拡張モデル上では □ と U から定義可能でないし、□ が here-and-there モデル上では U と R から定義可能でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『eventually』演算子 ◇ は、拡張モデルのクラス上で □ と U から定義可能か？
• RQ2 『henceforth』演算子 □ は、here-and-there モデルのクラス上で U と R から定義可能か？
• RQ3 ITL^e において、モダリティ ◇、□、U、R は互いに定義可能か、それとも厳密な定義的依存関係が存在するか？
• RQ4 直感的時間論理における時間的演算子の定義可能性について、双対不変性による特徴づけは可能か？
• RQ5 ITL^e の部分言語の表現的力は何か、特に一階直感的論理とどのように関係するか？

主な発見

• 『eventually』演算子 ◇ は、有限の拡張モデルのクラス上で □ と U から定義可能でない。これは、有界 □-双対の議論によって示された。
• 『henceforth』演算子 □ は、here-and-there モデルのより小さいクラスでさえ、U と R から定義可能でない。これは U/R-双対を用いて示された。
• 論理式 ◇p は、拡張モデル上では ℒ□ 言語内のいかなる論理式とも同値でない。これは、(0,0) と (0,1) が □-双対的であるが、◇p においては異なる値をとるモデルによって示された。
• here-and-there モデル上では、p U q ≡ (q R (p∨q)) ∧ ◇p が成り立つ。これは、U が R と ◇ から定義可能であることを示している。
• U と R を含む ITL^e は、部分言語の観点から表現的に完全ではない。◇ と □ は他の演算子と相互に定義可能でない。
• 結果として、◇ と □ の間には厳密な定義的独立性が確立された。古典論理では ◇ ≡ ⊤ U p および □ ≡ ⊥ R p と定義可能であるが、直感的論理では双対性が成立しないためである。