[論文レビュー] Bivariant theories in motivic stable homotopy

Frédéric Déglise|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、モチーフ的安定ホモトピー理論における二変量理論の枠組みを確立し、基底体を必要とせず、任意のスキーム（特異的であっても）に対して、グローバルな完全交差準同型のための標準的な基本類を通じてコホモロジーとホモロジーを統一する。六関手形式主義と絶対的環スペクトルを用いて、一般のスキームに対してGysin写像、リーマン・ローチの公式、双対性同型を構成する。

ABSTRACT

The purpose of this work is to study the notion of bivariant theory introduced by Fulton and MacPherson in the context of motivic stable homotopy theory, and more generally in the broader framework of Grothendieck six functors formalism. We introduce several kinds of bivariant theory associated with a suitable ring spectrum and we construct a system of orientations (called fundamental classes) for global complete intersection morphisms between arbitrary schemes. This fundamental classes satisfies all the expected properties from classical intersection theory and lead to Gysin morphisms, Riemann-Roch formulas as well as duality statements, valid for general schemes, including singular ones and without need of a base field.

研究の動機と目的

• フォルトンとマクファーソンの二変量形式主義をモチーフ的安定ホモトピー理論および六関手形式主義へ拡張すること。
• 任意のスキーム（特異的であっても）におけるグローバルな完全交差準同型のための標準的な基本類を構成すること。
• 基底体の仮定なしに一般のスキームに対して有効であるGysin準同型、リーマン・ローチの公式、双対性定理を確立すること。
• 代数的K理論、コボルディズム、エタールコホモロジーなどの古典的および一般化されたコホモロジー理論を、一つの二変量枠組みに統合すること。
• 絶対的環スペクトルを用いた二変量理論の体系的取り扱いと、モチーフ的六関手形式主義との整合性を提供すること。

提案手法

• アーベル圏の三角的モチーフ的圏における可換モノイドのカルテジアン・セクションとしての絶対的環スペクトルを導入し、A¹-ホモトピーおよびP¹-安定性の公理を満たす。
• スキーム上のファイバード三角的圏におけるf*, f*, f!, f!, ⊗, およびHomを用いて、六関手形式主義を通じて表現可能コホモロジーから二変量理論を構成する。
• 方向性データを用いてグローバルな完全交差準同型のための抽象的基底クラスを定義し、古典的なGysin写像を一般化する。
• 相対的双対化複体を用いた双対性同型を適用し、ボレル＝モーアコホモロジーとコンパクト台付きコホモロジー理論の間の同型を確立する。
• 環スペクトル間のToddクラス変換を通じてリーマン・ローチの公式を導出し、基底変換および双対性と整合する。
• 六関手形式主義を用いて、滑らかでかつコンパactsな準同型に関して、四つの二変量理論（コホモロジー、ボレル＝モーア、コンパクト台付き、および双対）が標準的同型を通じて一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォルトンとマクファーソンの二変量形式主義をどのようにモチーフ的安定ホモトピー理論に拡張できるか？
• RQ2 任意のスキームにおけるグローバルな完全交差準同型のための基底クラスの存在を保証する条件は何か？
• RQ3 基底体の仮定なしに、二変量構造からGysin準同型とリーマン・ローチの公式はどのように導かれるか？
• RQ4 双対性同型はどのようにボレル＝モーア、コンパクト台付き、および双対コホモロジー理論を統一するか？
• RQ5 六関手形式主義と絶対的環スペクトルは、どのように表現可能コホモロジーを二変量理論へ標準的に拡張可能にするか？

主な発見

• この論文は、任意のスキーム間のグローバルな完全交差準同型に対して、古典的交差理論の期待されるすべての性質を満たす標準的基底クラスを構成する。
• グローバルな完全交差のための方向性（基底クラス）の体系を確立し、滑らかさや基底体の有無に依存しないGysin準同型の定義を可能にする。
• 任意の滑らかでかつコンパクトな準同型 $ f: X \to S $ に対して、四つの二変量理論（コホモロジー、ボレル＝モーア、コンパクト台付き、および双対）が標準的同型を通じて一致する。
• 双対性同型は古典的結果（K理論における補題付き双対性）を回復し、特異的スキームへと拡張する。
• リーマン・ローチの公式は完全な一般性において証明され、基底変換および双対性と整合するToddクラス変換 $ \text{Td}_\rho $ を持つ。
• 双対性同型により、スーリンホモロジーとコンパクト台付きモチーフ的コホモロジーとの同一視が可能となり、特異的スキームに対しても特異点の解消を必要とせず、従来の結果を拡張する。