[論文レビュー] Orientation theory in arithmetic geometry

Frédéric Déglise|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、モチーフ的ホモトピー論を用いて算術的幾何における方向性理論を展開し、絶対純粋性の下で、特徴的クラスおよび基本的クラス、ギジン準同型、および残留写像の枠組みを確立する。Grothendieck風のリーマン・ロッホの公式を任意の自然変換に対して証明し、SGA6で予想された有理モチーフ的およびエタール $\ell$-adic $\iota$-adic コホロロジーへの応用を含む新しい残留リーマン・ロッホの公式を提示する。

ABSTRACT

This work is devoted to study orientation theory in arithmetic geometric within the motivic homotopy theory of Morel and Voevodsky. The main tool is a formulation of the absolute purity property for an \emph{arithmetic cohomology theory}, either represented by a cartesian section of the stable homotopy category or satisfying suitable axioms. We give many examples, formulate conjectures and prove a useful property of analytical invariance. Within this axiomatic, we thoroughly develop the theory of characteristic and fundamental classes, Gysin and residue morphisms. This is used to prove Riemann-Roch formulas, in Grothendieck style for arbitrary natural transformations of cohomologies, and a new one for residue morphisms. They are applied to rational motivic cohomology and étale rational $\ell$-adic cohomology, as expected by Grothendieck in \cite[XIV, 6.1]{SGA6}.

研究の動機と目的

• モチーフ的ホモトピー論を用いて、算術的幾何における方向性理論の統一的公理的枠組みを確立すること。
• 任意のコホロロジー理論の自然変換に対するGrothendieck風のリーマン・ロッホ定理を定式化し、証明すること。
• 絶対純粋性条件の下で、特徴的クラスおよび基本的クラス、ギジン準同型、および残留写像の理論を発展させること。
• 解析的不変性および横断的引き戻し、余剰交差、射影公式との整合性を検証すること。
• 得られた結果を有理モチーフ的コホロロジーおよびエタール有理 $\ell$-adic コホロロジーに応用し、SGA6での予想を確認すること。

提案手法

• 安定モチーフ的ホモトピー圏におけるカルテジアン・セクションとして表現される算術的コホロロジー理論の絶対純粋性の定式化を用いる。
• （算術的）コホロロジー理論の公理を適用し、チャーン類、トム類、および $\mathbf{MGL}$-加群の性質を導出する。
• 閉埋め込みおよびプロジェクトィブな lci モルフィズムに対して、局所化の長完全系列を用いてギジン準同型および残留写像を構成する。
• トッド類および普遍公式を用いてリーマン・ロッホ定理を導出し、代数的 K-理論およびコホロロジーを含む明示的な可換図式を提示する。
• 形式的群法則の一意性に依拠し、加法的形式的群法則の場合にトッド類が恒等的に 1 であることを示す。
• Gabber-Riou のギジン写像と比較し、$\mathbb{Z}[1/N]$-スキームの文脈で、双対性の規約を適切に合わせた場合に一貫性が保たれることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてモチーフ的ホモトピー論を用いて算術的幾何における方向性理論を体系的に展開できるか？
• RQ2 算術的コホロロジーにおいてギジン準同型および残留写像が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ3 モチーブ的設定において、コホロロジー理論の間の任意の自然変換に対してリーマン・ロッホの公式はどのように一般化されるか？
• RQ4 絶対純粋性の性質が解析的不変性および交差理論との整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 本フレームワークにおける構成は、特に SGA6 の文脈において、既知のエタールコホロロジーおよび代数的 K-理論の結果とどのように関係するか？

主な発見

• 絶対純粋性条件の下で、特徴的クラスおよび基本的クラスの理論がきわめて徹底的に発展しており、交差理論の体系的取り扱いを可能にする。
• 閉埋め込みおよびプロジェクトィブな lci モルフィズムに対して、ギジン準同型および残留写像が構成され、横断的引き戻し、余剰交差、射影公式の公理を満たす。
• 新しい残留リーマン・ロッホの公式が証明され、古典的なGroッテンディーク風の公式が、正規束を伴う閉埋め込みの状況にまで拡張される。
• クイレンまたはウェイベルの $KH_r$-理論から有理モチーフ的およびエタール $\ell$-adic コホロロジーへの高次チャーン写像 $\operatorname{ch}_r$ は適切に定義されており、押し出し写像と可換である。
• 加法的形式的群法則を持つ理論では、リーマン・ロッホの公式におけるトッド類が恒等的に 1 に等しくなるため、普遍公式が単純化される。
• 双対性の規約を正しく合わせた場合、本稿で構成されたギジン写像は、$\mathbb{Z}[1/N]$-スキームの状況で Gabber-Riou のものと一致する。