[論文レビュー] Black hole entropy from entanglement: A review

Saurya Das, S. Shankaranarayanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、ホワイトホールのエントロピーが、イベントホライズンを越えて量子もつれるスカラー場に起因することを提案しており、もつれエントロピーが、基底状態または最小不確定性状態において、Bekenstein-Hawkingの面積法則を再現することを示している。励起状態または重ね合わせ状態の場合、ホライズンから遠く離れた自由度の寄与によって、べき則補正が生じ、ホライズン面積が大きい場合には面積法則が回復する。

ABSTRACT

We review aspects of the thermodynamics of black holes and in particular take into account the fact that the quantum entanglement between the degrees of freedom of a scalar field, traced inside the event horizon, can be the origin of black hole entropy. The main reason behind such a plausibility is that the well-known Bekenstein-Hawking entropy-area proportionality -- the so-called `area law' of black hole physics -- holds for entanglement entropy as well, provided the scalar field is in its ground state, or in other minimum uncertainty states, such as a generic coherent state or squeezed state. However, when the field is either in an excited state or in a state which is a superposition of ground and excited states, a power-law correction to the area law is shown to exist. Such a correction term falls off with increasing area, so that eventually the area law is recovered for large enough horizon area. On ascertaining the location of the microscopic degrees of freedom that lead to the entanglement entropy of black holes, it is found that although the degrees of freedom close to the horizon contribute most to the total entropy, the contributions from those that are far from the horizon are more significant for excited/superposed states than for the ground state. Thus, the deviations from the area law for excited/superposed states may, in a way, be attributed to the far-away degrees of freedom. Finally, taking the scalar field (which is traced over) to be massive, we explore the changes on the area law due to the mass. Although most of our computations are done in flat space-time with a hypothetical spherical region, considered to be the analogue of the horizon, we show that our results hold as well in curved space-times representing static asymptotically flat spherical black holes with single horizon.

研究の動機と目的

• スカラー場のホライズンを越えた量子もつれがブラックホールエントロピーを説明できるかどうかを調査すること。
• もつれエントロピーがBekenstein-Hawkingの面積法則を再現する条件を特定すること。
• スカラー場が励起状態または重ね合わせ状態にある場合の面積法則への補正を探索すること。
• もつれエントロピーに寄与する自由度の空間的分布、特に非基底状態においてを特定すること。
• スカラー場の質量と曲がった時空幾何学がもつれエントロピーと面積法則に与える影響を検討すること。

提案手法

• 曲がった時空におけるスカラー場の正準量子化を、球面調和関数と径方向モードに分解して行う。
• 内部領域（r ≤ r_h）をトレースすることで縮約密度行列を計算し、外部をサブシステムとして扱う。
• 縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーを用いてもつれエントロピーを計算する。
• ホライズンにおける座標特異性を回避し、ハミルトニアン形式を簡略化するためにLemaître座標を用いる。
• 場のハミルトニアンを平坦空間における自由スカラー場のハミルトニアンに写像する正準変換を実行し、解析的取り扱いを可能にする。
• もつれエントロピーが量子状態（基底状態、コherent状態、スケージド状態、励起状態、重ね合わせ状態）および場の質量に依存するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー場のもつれエントロピーは、ブラックホールエントロピーのBekenstein-Hawkingの面積法則を再現できるか？
• RQ2 スカラー場が励起状態または重ね合わせ状態にある場合、面積法則にどのような補正が生じるか？
• RQ3 もつれエントロピーへの寄与は、ホライズンおよびその周囲でどのように空間的に分布しているか？
• RQ4 スカラー場の質量がもつれエントロピーの面積法則に果たす役割は何か？
• RQ5 平坦時空におけるカットオフ面（ホライズンに類似）を仮定した結果が、単一ホライズンを持つ曲がった時空のブラックホールにどの程度一般化可能か？

主な発見

• スカラー場が基底状態または最小不確定性状態（例えば、coherent状態やsqueezed状態）にある場合、もつれエントロピーはBekenstein-Hawkingの面積法則を再現する。
• スカラー場が励起状態にある場合、または基底状態と励起状態の重ね合わせにある場合、ホライズン面積Aに対して∼1/Aのスケーリングを示すべき則補正が生じる。
• このような非基底状態では、ホライズンから遠く離れた自由度がもつれエントロピーに顕著に寄与するが、基底状態では近ホライズンモードが支配的であるのとは対照的である。
• べき則補正はホライズン面積が大きくなるに従って小さくなり、大面積極限において面積法則が漸近的に回復する。
• 質量のあるスカラー場を含めても、もつれエントロピーは変化するが、面積法則およびその補正の定性的な振る舞いは一貫している。
• 平坦時空における仮想的な球対称カットオフ面（ホライズンに類似）を用いた結果が、単一ホライズンを持つ静的な球対称ブラックホール（シュバルツシルトブラックホールを含む）の曲がった時空でも成り立つことが示された。