[論文レビュー] Black Holes and Complexity Classes

Leonard Susskind|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、古典的一般相対性理論がブラックホール内部で指数的時間にわたり成立するという仮定が、量子計算の限界と深く関係することを確立している。一般相対性理論が指数的時間にわたりブラックホール内部を記述できるならば、これは量子回路の複雑さが線形に増加することを意味し、その結果、PSPACE は BQP/poly に含まれないことが示される。つまり、多項式時間のアドバイスを用いた量子コンピュータは、すべての PSPACE 完全問題を多項式時間で解くことはできない。

ABSTRACT

It is not known what the limitations are on using quantum computation to speed up classical computation. An example would be the power to speed up PSPACE-complete computations. It is also not known what the limitations are on the duration of time over which classical general relativity can describe the interior geometry of black holes. What is known is that these two questions are closely connected: the longer GR can describe black holes, the more limited are quantum computers. This conclusion, formulated as a theorem, is a result of unpublished work done by Scott Aaronson and myself which I explain here.

研究の動機と目的

• ブラックホール内部における古典的一般相対性理論の持続時間と量子計算の能力との間の関係を調査すること。
• ブラックホール系における量子回路の複雑さが線形に増加することは、量子計算複雑さクラスに制限をもたらすかを検討すること。
• ブラックホール幾何に関する重力的仮説と、PSPACE が BQP/poly に含まれるという複雑さ理論的仮説との間の定理を確立すること。
• 古典的一般相対性理論が長期間にわたり成立するという仮定が、量子コンピュータの能力に強い制約をもたらすことを示すこと。

提案手法

• AdS/CFT 対応（ゲージ-重力双対性）を用いて、Einstein-Rosen ブリッジ（ERB）の幾何学と双対 CFT 状態の量子計算的複雑さを関連付ける。
• 量子状態の複雑さが時間とともに線形に増加し、エントロピー S に対して指数的になる最大値に達するという仮説を適用する。これは ERB の体積に対応する。
• 一般相対性理論が可能な限り長く古典的であるという重力的仮説を、複雑さ理論的文脈に翻訳する：複雑さは e^S に達するまで線形に増加する。
• 特に BQP/poly を用いて、追加の古典的情報を伴う量子計算をモデル化する非一様アドバイスの枠組みを用いる。
• 複雑さが指数的時間にわたり線形に増加するならば、PSPACE は BQP/poly に含まれないことを示す定理を導出する。
• Nielsen の幾何的複雑さアプローチを用いて、複雑さの初期段階における線形増加を正当化するが、完全な飽和は未解決のまま。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的一般相対性理論がブラックホール内部を記述する時間スケールと、量子コンピュータの計算能力との間にどのような関係があるか。
• RQ2 ブラックホール系における量子回路複雑さの線形増加が、特定の古典的問題（PSPACE 完全問題）が量子コンピュータでは解けないことを示唆するか。
• RQ3 一般相対性理論が指数的時間にわたり成立すると仮定することは、PSPACE と BQP/poly のような複雑さクラスの関係を制限するか。
• RQ4 Einstein-Rosen ブリッジの幾何学と量子回路複雑さの双対性が、量子計算の限界をどのように制約するか。
• RQ5 量子再帰の影響が、複雑さの増加とブラックホール内部における古典的重力の崩壊に与える意味は何か。

主な発見

• 万能な量子回路の複雑さが時間とともに線形に増加し、qubit 数の指数関数的に増加する最大値に達するならば、PSPACE は BQP/poly に含まれない。
• 一般相対性理論が量子力学が許す限り長期間にわたりブラックホール内部を支配すると仮定する仮説は、量子コンピュータがすべての PSPACE 完全問題を効率的に解けないことを示唆する。
• ERB の体積増加に従ってブラックホール系で複雑さが線形に増加することは、強い複雑さ理論的制約をもたらす：PSPACE ⊈ BQP/poly。
• この結果は Susskind と Aaronson の共同研究に基づき、重力物理学と計算複雑さを結ぶ定理として提示されている。
• 本稿は、長期間にわたり古典的重力が成立すると仮定することは、量子計算に非自明な制限をもたらすことを示しており、量子コンピュータが PSPACE 完全問題を根本的に解けない可能性を示唆している。
• 複雑さが e^S に完全に飽和することは未証明のままだが、本稿は Nielsen の幾何的複雑さフレームワークを用いて、非ゼロの時間間隔にわたり線形増加が証明可能であることを確立している。