[論文レビュー] Computational Complexity and Black Hole Horizons

Leonard Susskind|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、通常の重力崩壊によって形成されるブラックホールでは、ホライズンの背後にあるファイアウォールを構築することは計算的に非現実的であると主張している。これは、必要とされる指数的かつ高い複雑さによるものである。ER=EPR双対性と複雑さ=作用双対性を用いて、ファイアウォールがアインシュタイン＝ローゼンブリッジを介して送信可能であることは理論的に可能であるが、必要な量子操作は指数的に複雑であり、特に蒸発するブラックホールにおいては自然に発生する可能性は低い。

ABSTRACT

Computational complexity is essential to understanding the properties of black hole horizons. The problem of Alice creating a firewall behind the horizon of Bob's black hole is a problem of computational complexity. In general we find that while creating firewalls is possible, it is extremely difficult and probably impossible for black holes that form in sudden collapse, and then evaporate. On the other hand if the radiation is bottled up then after an exponentially long period of time firewalls may be common. It is possible that gravity will provide tools to study problems of complexity; especially the range of complexity between scrambling and exponential complexity.

研究の動機と目的

• ブラックホールのホライズンの背後に量子操作を用いてファイアウォールを生成できるかどうかを調査すること。
• ER=EPR双対性を用いて、アインシュタイン＝ローゼンブリッジ（ERB）を通じた信号送信の計算的困難さを理解すること。
• 計算複雑さがブラックホールのホライズンの幾何学的性質および内部の伸びの性質とどのように関係するかを調査すること。
• 特にブラックホールの蒸発と放射の閉じ込め（bottling）の文脈において、ファイアウォールがどのような条件下で可能であるかを特定すること。
• 複雑さがファイアウォールパラドックスを解消する役割を果たす仕組みと、量子重力および情報理論に与える意味を明確にすること。

提案手法

• エンタングルメントをアインシュタイン＝ローゼンブリッジ（ERB）に等価とみなすER=EPR双対性を適用し、非局所的信号伝達を可能にする。
• 幾何的距離を量子回路の複雑さにマッピングする複雑さ=作用双対性を用い、ホライズンからの距離が深くなるにつれて複雑さが増加することを示す。
• ブラックホールをqubitの層状構造としてモデル化し、ホライズンの深さが進むにつれて演算子の複雑さが増加するようにし、プランクスケールで臨界複雑さ$\mathcal{C}_*$に至る。
• ユニタリー操作を用いてファイアウォールを生成する状態を準備する際の計算コストを分析し、放射が閉じ込められていない場合に最大の複雑さが生じることを示す。
• 2つの状況を検討する：(1) 放射が閉じ込められている（再帰時間がある）、(2) 放射が自由に放出される（再帰がない）、ファイアウォール生成の可能性を比較する。
• ハイデン＝プレスキル回路モデルとハール平均化アンサンブルを用いて、典型的なブラックホール状態を定義し、初期複雑さが低く、滑らかなホライズンを持つ状態に制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールの放射に対して量子操作を施すことでホライズンの背後にファイアウォールを生成する際の計算複雑さは何か？
• RQ2 量子操作の複雑さは、ブラックホールの近ホライズン領域における幾何的距離とどのように関係するか？
• RQ3 どのような条件下でファイアウォールが生成可能か。特に、ハーキング放射が閉じ込められているか否かの状況において。
• RQ4 再帰の可能性はあるものの、なぜ蒸発するブラックホールでは自然にファイアウォールが形成されにくいのか？
• RQ5 量子状態の複雑さは時間経過とともにどのように変化するか。また、これはブラックホール内部の伸びにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 放射が閉じ込められていない場合、ブラックホールの放射に対して量子操作を施してファイアウォールを生成するには指数的に大きな複雑さが必要であり、そのような出来事は極めて非現実的である。
• 放射が閉じ込められている場合、ファイアウォールは指数的に長い時間、すなわち系の古典的再帰時間の後に形成される可能性がある。
• 急激な崩壊によって形成される典型的なブラックホールでは、ファイアウォールを生成するために必要な複雑さは物理的に実現可能な範囲を超えているため、自然にファイアウォールは形成されない。
• ブラックホール内部では、量子状態の複雑さは時間とともに線形に増加し、ホライズンの伸びと一致する。この増加は、ボディの幾何学的作用に結びついている。
• プランクスケールの層における臨界複雑さ$\mathcal{C}_*$は、複雑さが急激に増加し始める境界として導出され、内部構造の深さへの進入の始まりを示す。
• 二重のAdSの場合、アリスが多項式時間以内に操作を行うならば、必要な複雑さは多項式のままであるが、それでも最大可能な複雑さに比べて著しく小さく、自然には到達できない。