[論文レビュー] Black-Scholes equation from Gauge Theory of Arbitrage

Kirill Ilinski, Gleb Kalinin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 1997

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ギャップ理論（GTA）からブラック・ショールズ方程式を導出しており、金融市場をゲージ場理論として扱い、アービタージュ機会を曲率に対応させる。仮想アービタージュと市場フィードバックによる非局所的補正をブラック・ショールズPDEに導入し、非ブラウン運動的価格ダイナミクスと市場非効率性をよりよく捉えるために、積分微分方程式に変換する。

ABSTRACT

We apply Gauge Theory of Arbitrage (GTA) {hep-th/9710148} to derivative pricing. We show how the standard results of Black-Scholes analysis appear from GTA and derive correction to the Black-Scholes equation due to a virtual arbitrage and speculators reaction on it. The model accounts for both violation of the no-arbitrage constraint and non-Brownian price walks which resemble real financial data. The correction is nonlocal and transform the differential Black-Scholes equation to an integro-differential one.

研究の動機と目的

• 金融市場をゲージ場理論として扱うゲージ理論的アービタージュ（GTA）を用いて、デリバティブ評価を再定式化すること。
• 標準的なブラック・ショールズ方程式がGTAフレームワークの極限状態として導かれるようにすること。
• 一時的なアービタージュ機会や非ブラウン運動的価格移動といった市場の非完璧性を扱うこと。
• アービタージュに対する市場参加者の反応を、ゲージ理論的枠組み内での動的フィードバック機構としてモデル化すること。
• 非局所的補正を組み込むことで、古典的仮定を超えたブラック・ショールズモデルの拡張を図ること。

提案手法

• 金融市場を、接続（ゲージ場）としてのリスク中立的測度を表す主バンドルとして形式化する。
• 局所的アービタージュの可能性を表す曲率2形式を導入し、ゲージ理論における場強度に類似させる。
• 平坦な接続極限（アービタージュなし）における運動方程式としてブラック・ショールズPDEを導出する。
• 仮想アービタージュ効果を非自明な曲率によって組み込み、価格決定方程式に補正項を導入する。
• 市場参加者の行動を曲率への反応としてモデル化し、積分微分作用素を通じて非局所的フィードバック機構を導入する。
• 経路積分または畳み込みカーネルを用いて、局所的ブラック・ショールズPDEを非局所的積分微分方程式に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラック・ショールズ方程式は、金融市場のゲージ理論的枠組みからどのように導出可能か？
• RQ2 ゲージ場モデルにおける曲率の役割は何か？ そして、アービタージュ機会をどのように表現するか？
• RQ3 非ブラウン運動的価格ダイナミクスと市場非効率性は、標準的ブラック・ショールズモデルにどのように影響を与えるか？
• RQ4 仮想アービタージュと市場フィードバックによるブラック・ショールズ方程式への補正の数学的形態は何か？
• RQ5 得られた積分微分方程式は、古典的PDEに比べて実際の金融データをよりよく記述できるか？

主な発見

• 標準的なブラック・ショールズ方程式は、ゲージ理論的アービタージュの平坦接続極限として現れ、アービタージュなしの条件に対応する。
• 局所的ブラック・ショールズPDEを積分微分方程式に変換する非局所的補正項が導出された。
• 補正項はゲージ場の曲率に起因し、仮想アービタージュ機会とその市場への影響を表す。
• モデルは、実際の金融時系列で観察される非ブラウン運動的価格移動を扱える。
• アービタージュに対する市場参加者の反応は動的フィードバックとしてモデル化され、補正済み方程式の非局所的カーネルに符号化されている。
• 結果として得られた方程式は、市場マイクロ構造効果と一時的な非効率性を組み込むことで、ブラック・ショールズを一般化している。