[論文レビュー] Blind Deconvolution with Additional Autocorrelations via Convex Programs

Philipp Walk, Peter Jung+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Blind Source Separation Techniques参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、入力信号の自己相関に関する事前知識を用いた凸最適化フレームワークを提案し、信号に共通のゼロを持たない場合の正確な復元を可能にする。畳み込みのあいまいさをzドメインにおけるゼロの入れ替えに写像し、双対証明を構築することで、半定値計画法を用いた決定論的復元を達成する。数値的検証により、ノイズに対して頑健であることが示された。

ABSTRACT

In this work we characterize all ambiguities of the linear (aperiodic) one-dimensional convolution on two fixed finite-dimensional complex vector spaces. It will be shown that the convolution ambiguities can be mapped one-to-one to factorization ambiguities in the $z-$domain, which are generated by swapping the zeros of the input signals. We use this polynomial description to show a deterministic version of a recently introduced masked Fourier phase retrieval design. In the noise-free case a (convex) semi-definite program can be used to recover exactly the input signals if they share no common factors (zeros). Then, we reformulate the problem as deterministic blind deconvolution with prior knowledge of the autocorrelations. Numerically simulations show that our approach is also robust against additive noise.

研究の動機と目的

• 有限次元の複素ベクトル空間における畳み込みのあいまいさを完全かつ数学的に厳密に特徴づけること。
• 特に、入力信号に共通のゼロを持たない場合に、ブラインド畳み込みが同定可能である条件を確立すること。
• 信号の自己相関に関する事前知識を用いて、ブラインド畳み込みを凸半定値計画法に再定式化すること。
• ノイズのない状況において、凸計画法を用いて信号を決定論的に復元することを示し、加法的ノイズ下での頑健性を示すこと。
• 決定論的設定における位相再構成のための明示的な双対証明を構築することにより、先行研究のマスキングされたフーリエ位相再構成設計を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、zドメインにおけるゼロの入れ替え因子分解への一対一写像を用いて畳み込みのあいまいさを特徴づけ、入力信号のz変換に共通のゼロのペアが存在する場合にあいまいさが生じることを示した。
• 入力信号の既知の自己相関を組み込むことで、ブラインド畳み込みを位相再構成問題に再定式化し、Jaganathanらの先行研究を活用した。
• 元の信号を回復するための凸半定値計画法を構築し、共通ゼロのない条件のもとで正確な復元を証明する明示的な双対証明を導出した。
• 双対証明は、マスキングされたフーリエ位相再構成のアイデアを決定論的フレームワークに翻訳することで構築され、信号に共通因数が存在しない場合に一意性が保証される。
• 時間反転自己相関系列とブロックトーペリッツ行列を用いて畳み込みのグラミアン構造を表現し、効率的な半定値計画法の定式化を可能にした。
• 自己相関系列から双対変数（λ行列）の明示的表現を導出し、双対解が凸計画法の最適性条件を満たすことを保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の複素ベクトル空間における線形畳み込みのあいまいさの完全な集合は何か？ そして、代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ2 畳み込み出力と信号自己相関に関する事前知識のみを用いて、ブラインド畳み込みが一意に解ける条件は何か？
• RQ3 入力信号が共通のゼロを持たない場合に、ノイズのない状況で信号を正確に回復できる凸半定値計画法を構築できるか？
• RQ4 決定論的設定において、ブラインド畳み込み問題の正確な復元を証明する明示的な双対証明をどのように構築できるか？
• RQ5 提案された凸法は、実用的な信号復元状況において、加法的ノイズに対してどの程度頑健であるか？

主な発見

• 本稿では、ブラインド畳み込みが、入力信号のzドメイン表現に共通のゼロを持たない場合に限り、一意に同定可能であることを証明した。
• ノイズのない状況において、凸半定値計画法が、入力信号に共通因数が存在しない限り、元の信号を正確に復元できることを示した。
• 共通ゼロのない条件のもとで最適性条件を満たす双対証明を構築することで、この方法が一意な復元を達成することを証明した。
• 数値シミュレーションにより、凸アプローチが加法的ノイズに対しても頑健であり、正確な信号再構成を維持することが示された。
• 時間反転自己相関系列とブロックトーペリッツ行列を用いて、双対証明を明示的に構築し、解の最適性を検証した。
• このフレームワークは、先行研究のマスキングされたフーリエ位相再構成設計を決定論的設定に一般化し、統計的仮定なしに正確な復元を可能にした。